- Número irracional
- Número real
- Conjunto dos números reais
- Conjunto de números reais limitado superiormente
- Conjunto de números reais limitado inferiormente
- Conjunto de números reais limitado
- Supremo
- Sequência de números reais
- Subsequência
- Sequência limitada superiormente
- Sequência limitada inferiormente
- Sequência limitada
- Sequência monótona
- Limite de uma sequência
- Sequência convergente
- Sequência divergente
- Sequência que vai para o infinito
- Valor de aderência
- Série
- Sequência de somas parciais
- Série convergente
- Série divergente
- Série absolutamente convergente
- Função de números reais
- Limite de uma função
- Função crescente
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Número irracional
Número real
Conjunto dos números reais
Denotarei o conjunto dos números reais por $\mathbb{R}$.
Conjunto de números reais limitado superiormente
Seja $A$ um conjunto de números reais. $A$ é limitado superiormente se existe algum $b \in \mathbb{R}$ tal que $x \leq b$ para todo $x \in A$.
Conjunto de números reais limitado inferiormente
Conjunto de números reais limitado
Supremo
Seja $A$ um subconjunto de $\mathbb{R}$ limitado superiormente e não vazio. $s \in \mathbb{R}$ é o supremo de $A$ se:
\[\forall a \in A \ (a \leq s) \e \forall c \in \mathbb{R} \ (\forall x \in A \hspace{0.1cm} x \leq c \imp s \leq c)\]
Isto é, $s$ é a menor cota superior de $A$.
Sequência de números reais
Seja $(x_n)$ uma sequência infinita. $(x_n)$ é uma sequência de números reais se seu contradomínio é o conjunto dos números reais.
Daqui pra baixo chamarei as sequências de números reais apenas de sequências.
Subsequência
Seja $(x_n)$ uma sequência. Uma subsequência de $(x_n)$ é a restrição de $(x_n)$ a um subconjunto infinito $\mathbb{N}’ = \{ n_1 < n_2 < … < n_k < … \}$ de $\mathbb{N}$.
Lembre-se que sequência é uma função cujo domínio é $\mathbb{N}$.
Sequência limitada superiormente
Sequência limitada inferiormente
Sequência limitada
Sequência monótona
Limite de uma sequência
Seja $L$ um número real. $L$ é o limite da sequência $(x_n)$ se $\forall \epsilon > 0$, $\exists n_0 \in \mathbb{N}$ tal que $n > n_0 \imp |x_n-L| < \epsilon$.
Sequência convergente
Sequência divergente
Seja $(x_n)$ uma sequência. $(x_n)$ é divergente se ela não possui limite. Isto é, se:
$\forall L \in \mathbb{R} \ \exists \epsilon > 0 \ \forall n_0 \in \mathbb{N}$, $\exists n > n_0$ tal que $|x_n-L| \geq \epsilon$.
Intuitivamente isto quer dizer que para qualquer número, existe sempre uma distância $\epsilon$ tal que, não importa quão longe você vá na sequência, algum termo da sequêcia dista mais que $\epsilon$ do número.
Sequência que vai para o infinito
Valor de aderência
Seja $(x_n)$ uma sequência. $a$ é valor de aderência de $(x_n)$ se $a$ é limite de uma subsequência de $(x_n)$.
Série
É uma soma infinita de números reais $s = a_1+a_2+a_3+…+a_n+…$ . Para que isso faça sentido, $s = \lim_{n \to \infty} a_1+…+a_n$.
Sequência de somas parciais
Seja $(a_n)$ uma sequência. A sequência $(s_n)$ onde
$s_1 = a_1$, $s_2 = a_1+a_2$, …, $s_n = a_1+a_2+…+a_n$
chama-se sequência de somas parciais da série $\sum a_n$.
Note que $s = \lim_{n \to \infty} a_1+…+a_n$ é o limite da sequência de somas parciais da série $\sum a_n$.
Série convergente
Seja $\sum a_n$ uma série. Se $s = \lim_{n \to \infty} a_1+…+a_n$ existir, diremos que $\sum a_n$ é convergente.
Série divergente
Seja $\sum a_n$ uma série. Se $s = \lim_{n \to \infty} a_1+…+a_n$ não existir, diremos que $\sum a_n$ é divergente.
Série absolutamente convergente
Seja $\sum a_n$ uma série. $\sum a_n$ é absolutamente convergente se $\sum |a_n|$ for convergente.
Função de números reais
Seja $f$ uma função. $f$ é uma função de números reais se seu domínio e contradomínio forem subconjuntos de $\mathbb{R}$.
Daqui pra baixo, sempre que eu escrever ‘função’ estou me referindo a funções de números reais.
Limite de uma função
Função crescente
Referências
Análise Real volume 1 – Elon Lima