Definições da Análise Real

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André

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Este post é uma lista das definições que nos deparamos ao estudar Análise Real, um ramo da matemática.

Lista das definições
  1. Número irracional
  2. Número real
  3. Conjunto dos números reais
  4. Conjunto de números reais limitado superiormente
  5. Conjunto de números reais limitado inferiormente
  6. Conjunto de números reais limitado
  7. Intervalo da reta
  8. Supremo
  9. Ínfimo
  10. Sequência de números reais
  11. Subsequência
  12. Sequência limitada superiormente
  13. Sequência limitada inferiormente
  14. Sequência limitada
  15. Sequência monótona
  16. Limite de uma sequência
  17. Sequência convergente
  18. Sequência divergente
  19. Sequência que vai para o infinito
  20. Valor de aderência
  21. Sequência de somas parciais
  22. Série
  23. Série convergente
  24. Série divergente
  25. Série absolutamente convergente
  26. Função de números reais
  27. Função monótona não decrescente
  28. Função monótona não crescente
  29. Função crescente
  30. Função decrescente
  31. Série de potências
  32. Limite de uma função quando x tende à a
  33. Limite à direita de uma função
  34. Limite à esquerda de uma função
  35. Limite de x tendendo à mais infinito
  36. Limite de x tendendo à menos infinito
  37. Limite mais infinito
  38. Limite menos infinito
  39. Limite infinito de x tendendo ao infinito
  40. Limite menos infinito tendendo a menos infinito
  41. Função contínua num ponto
  42. Função contínua
  43. Homeomorfismo
  44. Função uniformemente contínua
  45. Função lipschitziana
  46. Derivada
  47. Função derivável
  48. Função derivada
  49. Função de classe C¹
  50. Série de Taylor
  51. Função analítica
  52. Partição de [a, b]
  53. Intervalos de uma partição
  54. Tamanho do intervalo de uma partição
  55. Soma inferior de uma função com relação a uma partição
  56. Soma superior de uma função com relação a uma partição
  57. Função Riemann integrável
  58. Integral de uma função
  59. Conjunto de medida nula

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Número irracional

Número real

Conjunto dos números reais

Denotarei o conjunto dos números reais por $\mathbb{R}$.

Conjunto de números reais limitado superiormente

Seja $A$ um conjunto de números reais. $A$ é limitado superiormente se existe algum $b \in \mathbb{R}$ tal que $x \leq b$ para todo $x \in A$.

Conjunto de números reais limitado inferiormente

Conjunto de números reais limitado

Intervalo da reta

Supremo

Seja $A$ um subconjunto de $\mathbb{R}$ limitado superiormente e não vazio. $s \in \mathbb{R}$ é o supremo de $A$ se:

\[\forall a \in A \ (a \leq s) \e \forall c \in \mathbb{R} \ (\forall x \in A \hspace{0.1cm} x \leq c \imp s \leq c)\]

Isto é, $s$ é a menor cota superior de $A$.

Denotarei o supremo de $A$ por $\sup(A)$

Ínfimo

Denotarei o ínfimo de $A$ por $\inf(A)$.

Sequência de números reais

Seja $(x_n)$ uma sequência infinita. $(x_n)$ é uma sequência de números reais se seu contradomínio é o conjunto dos números reais.

Daqui pra baixo chamarei as sequências de números reais apenas de sequências.

Subsequência

Seja $(x_n)$ uma sequência. Uma subsequência de $(x_n)$ é uma sequência $(x_{n_k})$, onde $n_1 < n_2 < …$ são números naturais.

Lembre-se que sequência é uma função cujo domínio é $\mathbb{N}$.

Sequência limitada superiormente

Sequência limitada inferiormente

Sequência limitada

Sequência monótona

Limite de uma sequência

Seja $L$ um número real. $L$ é o limite da sequência $(x_n)$ se $\forall \epsilon > 0$, $\exists n_0 \in \mathbb{N}$ tal que $n > n_0 \imp |x_n-L| < \epsilon$.

Sequência convergente

Seja $(x_n)$ uma sequência. $(x_n)$ é convergente se ela possui limite. Isto é, se:

$\exists L \in \mathbb{R} \ \forall \epsilon > 0$, $\exists n_0 \in \mathbb{N}$ tal que $n > n_0 \imp |x_n-L| < \epsilon$.

Sequência divergente

Seja $(x_n)$ uma sequência. $(x_n)$ é divergente se ela não possui limite. Isto é, se:

$\forall L \in \mathbb{R} \ \exists \epsilon > 0 \ \forall n_0 \in \mathbb{N}$, $\exists n > n_0$ tal que $|x_n-L| \geq \epsilon$.

Intuitivamente isto quer dizer que para qualquer número, existe sempre uma distância $\epsilon$ tal que, não importa quão longe você vá na sequência, algum termo da sequêcia dista mais que $\epsilon$ do número.

Sequência que vai para o infinito

Valor de aderência

Seja $(x_n)$ uma sequência. $a$ é valor de aderência de $(x_n)$ se $a$ é limite de uma subsequência de $(x_n)$.

Sequência de somas parciais

Seja $(a_n)$ uma sequência. A sequência $(s_n)$ onde

$s_1 = a_1$, $s_2 = a_1+a_2$, …, $s_n = a_1+a_2+…+a_n$

chama-se sequência de somas parciais da sequência $(a_n)$

Série

Intuitivamente, uma série é uma soma infinita de números reais. Formalmente, não sei definir essa merda — e, para o que faremos aqui, nem preciso. Tudo o que precisamos saber é quando uma série converge ou diverge.

Denotarei uma série por $\sum_{n = 1}^\infty a_n$ ou apenas $\sum a_n$.

Série convergente

Seja $\sum a_n$ uma série. Se

\[ s = \lim_{n \to \infty} (a_1+…+a_n) \]

existir, diremos que $\sum a_n$ é convergente e $s$ é chamado de soma da série.

Note então que uma série converge quando sua sequência de somas parciais converge.

Denotarei que uma série converge como $\sum a_n = s$.

Série divergente

Seja $\sum a_n$ uma série. Se $\lim_{n \to \infty} (a_1+…+a_n)$ não existir, diremos que $\sum a_n$ é divergente.

Série absolutamente convergente

Seja $\sum a_n$ uma série. $\sum a_n$ é absolutamente convergente se $\sum |a_n|$ for convergente.

Função de números reais

Seja $f$ uma função. $f$ é uma função de números reais se seu domínio e contradomínio forem subconjuntos de $\mathbb{R}$.

Daqui pra baixo, sempre que eu escrever ‘função’ estou me referindo a funções de números reais.

Função monótona não decrescente

Função monótona não crescente

Função crescente

Função decrescente

Série de potências

Limite de uma função quando x tende à a

Seja $f: X \to \mathbb{R}$ uma função e $a \in X’$ um ponto de acumulação de $X$. Dizemos que o número real $L$ é limite de $f$ quando $x$ tende a $a$, quando, para todo $\epsilon > 0$ dado arbitrariamente, pode-se obter $\delta > 0$ tal que se tem $|f(x)-L| < \epsilon$ sempre que $x \in X$ e $0< |x-a| < \delta$.

Simbolicamente, $L$ é limite de $f$ quando $x$ tende a $a$, quando:

\[ \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x \in X, 0 < |x-a| < \delta \imp |f(x)-L| < \epsilon \]

Intuitivamente, $L$ ser limite de $f$ quando $x$ tende a $a$ quer dizer que se pode tornar $f(x)$ tão próximo de $L$ quanto se queira desde que se tome $x \in X$ suficientemente próximo, porém diferente, de $a$.

Denotarei que $L$ é limite de $f$ quando $x$ tende a $a$ por $\lim_{x \to a} f(x) = L$.

Limite à direita de uma função

Limite à esquerda de uma função

Limite de x tendendo à mais infinito

Seja $f: X \to \mathbb{R}$ uma função com $X$ ilimitado superiormente. Dizemos que o número real $L$ é limite de $f$ quando $x$ tende a $+\infty$, quando $L$ satisfaz a seguinte condição:

\[ \forall \epsilon > 0 \, \exists M > 0, \forall x \in X , x > M \imp |f(x)-L| < \epsilon \]

Denotarei que o limite de $f$ tendendo à mais infinito é $L$ por $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$.

Limite de x tendendo à menos infinito

Limite mais infinito

Sejam $f: X \to \mathbb{R}$ uma função e $a \in X’$ um ponto de acumulação de $X$. Dizemos que o limite de $f$ quando $x$ tende à $a$ é mais infinito quando:

\[ \forall A > 0 \, \exists \delta > 0 \text{ tal que }, \forall x \in X, 0 < |x-a| < \delta \imp f(x) > A \]

Denotarei que o limite de $x$ tendendo à a é mais infinito assim: $ \lim_{x \to a} f(x) = +\infty $.

Limite menos infinito

Limite infinito de x tendendo ao infinito

Seja $f: X \to \mathbb{R}$ uma função com $X$ ilimitado superiormente. Dizemos que o limite de $x$ tendendo ao infinito é infinito se:

\[ \forall A > 0 \, \exists M > 0 \text{ tal que } \forall x \in X, x > M \imp f(x) > A \]

Denotarei que o limite de $x$ tendendo ao infinito é infinito assim: $ \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty $

Limite menos infinito tendendo a menos infinito

Função contínua num ponto

Função contínua

Homeomorfismo

Função uniformemente contínua

Função lipschitziana

Derivada

Função derivável

Função derivada

Função de classe C¹

Série de Taylor

Função analítica

Partição de [a, b]

Uma partição de $[a, b]$ é qualquer $P \subset [a, b]$ finito tal que $a, b \in P$.

Denotarei o conjunto de todas as partições de $[a, b]$ por $\mathcal{P}[a, b]$.

Ao escrever $P = \{x_0, x_1, …, x_n \}$ deixarei subtendido que $a = x_0 \leq . .. \leq x_n = b$.

Intervalos de uma partição

Seja $f$ uma função limitada em $[a, b]$ e $P = \{x_0, …, x_n \}$ uma partição de $[a, b]$. Para cada $i \in \{1, …, n \}$ definimos

\[ I_i = [x_{i-1}, x_i] \]

Tamanho do intervalo de uma partição

Seja $f$ uma função limitada em $[a, b]$ e $P = \{x_0, …, x_n \}$ uma partição de $[a, b]$. Para cada $i \in \{1, …, n \}$ definimos

\[ \Delta x_i = x_i-x_{i-1} \]

Soma inferior de uma função com relação a uma partição

Seja $f$ uma função limitada em $[a, b]$ e $P$ uma partição de $[a, b]$. Definimos soma inferior de $f$ com relação a $P$ por

\[ \sum_{i = 1}^n \inf(f(I_i)) \Delta x_i \]

Denotarei a soma inferior de $f$ com relação a $P$ por $I(f;P)$.

Soma superior de uma função com relação a uma partição

Seja $f$ uma função limitada em $[a, b]$ e $P$ uma partição de $[a, b]$. Definimos soma superior de $f$ com relação a $P$ por

\[ \sum_{i = 1}^n \sup(f(I_i)) \Delta x_i \]

Denotarei a soma superior de $f$ com relação a $P$ por $S(f;P)$.

Função Riemann integrável

Seja $f$ uma função. Definimos que $f$ é Riemann integrável em $[a, b]$ se $f$ é limitada em $[a, b]$ e:

\[ \sup(\{ I(f; P) | P \in \mathcal{P}[a, b] \}) = \inf(\{ S(f; P) |P \in \mathcal{P}[a, b] \}) \]

Integral de uma função

Seja $f$ uma função Riemann integrável em $[a, b]$. A integral de $f$ em $[a, b]$ é exatamente $\inf(\{ S(f; P) |P \in \mathcal{P}[a, b] \})$.

Denotarei a integral de $f$ em $[a, b]$ por $\int_a ^b f(x) dx$.

Conjunto de medida nula

Seja $A \subset \mathbb{R}$. $A$ tem medida nula se para todo $\epsilon > 0$, existe uma sequência $(I_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de intervalos abertos e limitados tal que

\[ A \subset \bigcup_{n =1}^{+\infty} I_n \text{\hspace{1cm} e \hspace{1cm}} \sum_{n = 1}^{+\infty} |I_n| \leq \epsilon \]

onde $|I|$ representa o comprimento do intervalo $I$, ou seja, $|I| = b-a$ se $I = (a, b)$.

Referências

Análise Real Volume 1 – Elon Lima

Curso de Análise Real – Cassio Neri e Marco Cabral

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