Olá! Eu faço bacharelado em matemática e, neste semestre, estou cursando Análise 1.
Um dos primeiros exercícios que meu professor de Análise passou foi:
Neste post, vou resolver esse problema com todos os detalhes — e aproveitar para discutir uma ideia fundamental sobre os números naturais.
Conteúdo do post
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O Princípio da Boa Ordenação
Como toda demonstração, partiremos de uma afirmação mais fundamental para demonstrar o que queremos.
A afirmação mais fundamental que usaremos nesse caso é o Princípio da Boa Ordenação, que é praticamente um axioma dos números naturais.
O Princípio da Boa Ordenação (PBO) afirma:
Todo subconjunto não vazio de $\mathbb{N}$ possui um menor elemento.
Isto é, todo subconjunto não vazio dos naturais possui um elemento que é menor ou igual a todos os outros elementos do subconjunto. Além disso, esse menor elemento é único.
Por exemplo, o subconjunto dos naturais $A = \{x \in \mathbb{N} \mid 2 < x < 10 \}$ é não vazio e portanto, pelo PBO, possui um menor elemento, que nesse caso é o 3.
Um princípio bem razoável, certo? Então bora usá-lo para resolver o exercício.
Lema: não existe natural entre 0 e 1
Para resolver o exercício precisamos antes demonstrar o seguinte lema:
Não existe número natural entre 0 e 1.
Prova (por absurdo):
Suponha por absurdo que exista pelo menos um número natural entre 0 e 1. Então, o conjunto $A$
\[ A = \{x \in \mathbb{N} \mid 0 < x < 1 \} \]
é não vazio.
Segue, do PBO, que existe um menor elemento $r$ de $A$, isto é
\[ r = \min A \]
Como $r \in A$, temos que
\[ 0 < r < 1 \]
Multiplicando essas desigualdades por $r$ obtemos que
\[ 0 < r^2 < r \]
pois $r > 0$, então a multplicação não inverte o sinal de menor.
Agora observe:
- Como os naturais são fechados para a multiplicação, $r^2 = r \cdot r$ é natural;
- Além disso, pelo fato de $r < 1$, segue por transtividade que $r^2 < 1$ e portanto $r^2$ está entre 0 e 1.
Mas então $r^2$ é um elemento de $A$ que é menor que $r$. Isto é um absurdo, pois contraria a minimalidade de $r$. Portanto, nossa suposição estava errada, e segue que não existe número natural entre 0 e 1.
Demonstração principal
Agora que provamos o lema acima estamos prontos para provar que:
Dado um natural $n \in \mathbb{N}$, não existe natural $x$ tal que $n < x < n+1$.
Prova (por absurdo):
Novamente, suponha por absurdo que existe $x \in \mathbb{N}$ tal que
\[ n < x < n+1 \]
Então, subtraindo $n$ dessas desigualdades obtemos
\[ 0 < x-n < 1 \]
Como $n < x$ temos que $x-n > 0$ e portanto
\[ x-n \in \mathbb{N} \]
Mas $x-n$ está entre 0 e 1, e acabamos de provar que não existe natural entre 0 e 1. Logo, chegamos a um absurdo.
Isso quer dizer que nossa suposição era falsa e, portanto, que não existe número natural entre $n$ e $n+1$ para todo $n \in \mathbb{N}$.
Comentários
Este resultado formaliza a ideia de que os números naturais são discretos. Isto é, que não existe “números intermediários” entre dois naturais. Esta é uma diferença em relação aos números reais, pois entre dois reais existem infinitos números reais. Uma forma chique de dizer que os naturais são um conjunto discreto é dizer que os naturais não possuem pontos de acumulação.
Este é o segundo post em que uso o PBO aqui no blog, sendo esse o outro post:
Demonstração do Teorema de Bézout usando o Princípio da Boa Ordenação – Quarto 707
No entanto, lá eu usei o PBO para os inteiros, e não para os naturais como foi feito aqui. No caso dos números natuais, o PBO é equivalente ao princípio da indução matemática, mas no caso dos números inteiros isso não é verdade.
Referências
Curso de Álgebra Volume 1 – Abramo Hefez
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