Olá! neste post vou te mostrar como saber quantos divisores um número tem.
Para facilitar o entendimento e não complicar a matemática de cara, farei o seguinte caminho:
- Primeiro, encontraremos quantos divisores o número 20 tem.
- Em seguida, generalizaremos a ideia para qualquer número natural.
- Inicialmente, focaremos nos divisores positivos. No final, veremos o que muda ao incluir os divisores negativos.
Conteúdo do post
Parte 1: Dedução para o número 20
Passo 1: Fatorar o 20
O primeiro passo para deduzir quantos divisores positivos o $20$ tem é decompô-lo em seus fatores primos, isto é, fatora-lo. Lembro que no ensino fundamental aprendemos a fazer isso quando estudamos MMC, fazendo o seguinte:
Apesar de dar certo, não gosto de fazer assim. Eu gosto de ir “abrindo” o $20$, da seguinte forma:
\[ 20 = 2 \cdot 10 \]
E, como
\[ 10 = 2 \cdot 5 \]
Substituindo a segunda equação na primeira temos que:
\[ 20 = 2 \cdot (2 \cdot 5) \]
Que é o mesmo que:
\[ 20 = 2^2 \cdot 5 \]
E aí está o $20$ fatorado, de forma muito mais rápida do que montar aquela tabela.
Passo 2: Aplicar o Princípio Fundamental da Contagem (PFC)
Agora que fatoramos o $20$, para saber quantos divisores ele tem precisamos usar o Princípio Fundamental da Contagem (ou PFC). Esse princípio diz que: se temos $n$ possibilidades de tomar uma decisão e $m$ possibilidade de tomar outra decisão, o número total de possibilidades de tomar as duas decisões é $n$ vezes $m$.
Pode parecer estranho na primeira vez que vemos ele, mas depois você se acostuma.
Nesse momento você deve estar se perguntando: “o que isso tem a ver com o problema?”.
E a resposta é a seguinte: note que qualquer divisor positivo do $20$ deve ser formado apenas por combinações das potências dos primos $2$ e $5$. Isto é, para cada par de potências que escolhemos para os fatores do $20$ obtemos um divisor diferente.
Em matematiquês isto quer dizer que a estrutura de um divisor $d$ de $20$ é dada por:
\[ d = 2^x \cdot 5^y \]
Por exemplo, se escolhermos $0$ como a potência $x$ e $0$ como a potência $y$ obtemos:
\[ d = 2^0 \cdot 5^0 = 1 \cdot 1 = 1 \]
Que é um divisor de $20$.
Se escolhermos $1$ como a potência $x$ e $0$ como a potência $y$ obtemos:
\[ d = 2^1 \cdot 5^0 = 2 \cdot 1 = 2 \]
Que também é um divisor de $20$.
Viu? Para cada par de potências que escolhemos para os fatores do $20$ obtemos um divisor diferente do $20$.
E quantas escolhas podemos fazer?
- Para escolher o expoente $x$ da base $2$, temos 3 opções: $0, 1$ ou $2$.
- Para escolher o expoente $y$ da base $5$, temos 2 opções: $0$ ou $1$.
Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem (PFC), podemos fazer $3$ vezes $2$ escolhas para as duas potências. Isto é, podemos fazer $6$ escolhas!
E, como para cada par de potências que escolhemos obtemos um divisor, isto significa que o $20$ possui $6$ divisores positivos!
\[ \text{Total de divisores positivos} = 3 \times 2 = 6 \]
E ai está a dedução de quantos divisores positivos o número $20$ tem.
Agora farei a dedução para um número qualquer. A escrita pode parecer complicada a primeira vista, mas a ideia é exatamente a mesma que fizemos com o número $20$.
Parte 2: Dedução para um número qualquer $n$
Agora que entendemos a lógica com o $20$, vamos generalizar.
Seja $n$ um número natural maior que $1$. Fatorando o $n$ obtemos que:
\[ n = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot p_3^{a_3} \cdot … \cdot p_k^{a_k} \]
Onde cada $p_i$ é um número primo positivo distinto e cada $a_i$ é seu respectivo número natural.
Para formar um divisor qualquer de $n$, devemos escolher o expoente de cada primo $p_i$.
Para a potência do $p_1$ podemos escolher os números $0, 1, 2, 3, …, a_1$.
Para a potência do $p_2$ podemos escolher os números $0, 1, 2, 3, …, a_2$.
Para a potência do $p_3$ podemos escolher os números $0, 1, 2, 3, …, a_3$. E assim por diante até o primo $p_k$.
Aplicando o PFC, o número total de divisores positivos de $n$, denotado por $d(n)$, é:
\[ d(n) = (a_1+1) \cdot (a_2+1) \cdot (a_3+1) \cdot … \cdot (a_k+1) \]
Nota: Somamos $+1$ ao valor de cada expoente porque, como vimos, o zero também é uma escolha válida de expoente (pois $p^0 = 1$).
Parte 3: E se considerarmos os divisores negativos?
Se considerarmos os divisores negativos, o número de divisores $d(n)$ dobra!
Isto ocorre porque se $d$ é um divisor de $n$, então $-d$ também é um divisor de $n$.
Ou seja, para cada divisor positivo $d$ de um número $n$, existe um divisor negativo correspondente $-d$. Logo,
\[ \text{Total de divisores} = 2 \cdot d(n) \]
No caso do número $20$:
- Divisores positivos: $6$
- Divisores negativos: $6$ (são eles: $-1, -2, -4, -5, -10, -20$)
- Total de divisores: $12$
Obrigado por chegar até aqui ^^
Se gostou do post, leia também o post onde deduzo quanto é o produto dos divisores positivos de um número natural :
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