Há algum tempo, apareceu para mim um vídeo do Universo Narrado onde eles deduzem a fórmula para a soma dos divisores positivos de um número natural:
O problema me intrigou, então comecei a pensar nele. Confesso que pensei bastante, mas não consegui resolvê-lo. Mesmo depois de assistir o vídeo ainda não entendi por que a dedução é válida. Achei meio estranho o fato de usarmos uma distributiva específica que “milagrosamente” cobre todos os divisores.
Mas, enquanto tentava calcular a soma dos divisores de um número acabei resolvendo um outro problema bem parecido e mais simples: quanto dá o produto dos divisores positivos de um número natural? (lembro que fiz essa conta no ônibus!).
Este post é justamente para explicar a dedução que fiz, que é extremamente simples e intuitiva. Vou mostrar primeiro para um número concreto e, em seguida, para o caso geral — assim evitamos que a notação matemática faça o problema parecer mais difícil do que realmente é.
Além disso, começarei deduzindo apenas o produto dos divisores positivos de um número.
Conteúdo do post
Dedução para o número 20
Tome o número natural $20$ e seja $P(20)$ o produto dos divisores positivos de $20$. O que queremos é deduzir uma expressão simples para $P(20)$.
O primeiro passo é saber quantos divisores positivos o número $20$ tem. Eu fiz um post só para explicar isso então serei breve aqui.
Fatorando o $20$ em primos, temos
\[ 20 = 10 \cdot 2 = (5 \cdot 2) \cdot 2 = 2^2 \cdot 5 \]
A quantidade de divisores, que chamaremos de $d(20)$, é obtida somando $1$ aos expoentes dos fatores primos e multiplicando os resultados
\[ d(20) = (2 + 1) \cdot (1 + 1) = 3 \cdot 2 = 6 \]
(mais uma vez, se não entendeu o que eu fiz leia meu post onde explico isso detalhadamente)
Agora que sabemos a quantidade dos divisores de $20$, vem uma sacada genial: se listarmos os divisores em ordem crescente — $1, 2, 4, 5, 10, 20$ —, percebemos que multiplicar os termos simétricos (as pontas) resulta sempre no próprio $20$:
- O $1º$ e o último: $1 \cdot 20 = 20$
- O $2º$ e o penúltimo: $2 \cdot 10 = 20$
- O $3º$ e o antepenúltimo: $4 \cdot 5 = 20$
Como temos $6$ divisores, formamos exatamente $3$ pares (ou seja, $\frac{6}{2}$ pares). Multiplicando tudo:
\[ P(20) = 1 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 10 \cdot 20 = (1 \cdot 20) \cdot (2 \cdot 10) \cdot (4 \cdot 5) = 20 \cdot 20 \cdot 20 = 20^3 \].
Portanto, $P(20) = 20^3 = 8000$, e aí está a dedução prometida!
Dedução para um número qualquer
Agora que entendemos a ideia com o $20$, vamos generalizar para um número natural $n$ qualquer.
Seja $n$ um número natural e $d(n)$ a quantidade de divisores positivos de $n$. Listando esses divisores em ordem crescente:
\[ D = \{ d_1, d_2, d_3, …, d_{d(n)} \} \]
onde $d_1 = 1$ e $d_{d(n)} = n$.
Assim como no exemplo do $20$, se multiplicarmos o primeiro com o último, o segundo com o penúltimo, e assim por diante, o resultado sempre será $n$:
\[ d_1 \cdot d_{d(n)} = n \]
\[ d_2 \cdot d_{d(n)-1} = n \]
\[ \vdots \]
O produto de todos os divisores $P(n)$ nada mais é do que multiplicar todos esses pares. Como existem $d(n)$ divisores no total, teremos exatamente $\frac{d(n)}{2}$ pares, cada um resultando em $n$.
Portanto, agrupando os pares:
\[ P(n) = \underbrace{n \cdot n \cdot \dots \cdot n}_{\frac{d(n)}{2} \text{ vezes}} \]
Logo,
\[ P(n) = n^{\frac{d(n)}{2}} \]
E esta é a fórmula para calcular o produto de todos os divisores de um número.
E se $n$ tem uma quantidade ímpar de divisores?
Note que na fórmula dividimos a quantidade de divisores $d(n)$ por $2$. Mas e se $d(n)$ for ímpar? Teremos um expoente fracionário?
E a resposta é não. A fórmula continua valendo perfeitamente. Vejamos o por quê.
Eu não sei provar, mas segundo o Chat GPT, apenas os quadrados perfeitos tem uma quantidade ímpar de divisores. Acho que é porque divisores sempre vem aos pares.
Então a fórmula continua valendo pois se $n$ for um quadrado perfeito, existe algum $k \in \mathbb{N}$ tal que $n = k^2$. Daí, a fórmula ficaria
\[ P(n) = n^{\frac{d(n)}{2}} = (k^2)^{\frac{d(n)}{2}} = k^{d(n)} \]
Que funciona perfeitamente mesmo se $d(n)$ for ímpar.
Legal, né?
E se considerarmos os divisores negativos?
Se considerarmos os divisores negativos de $n$, então para cada divisor $d_i$ existirá um divisor $-d_i$. Daí o número de divisores $d(n)$ dobra, passando a ser $2 \cdot d(n)$. Logo, o módulo de $P(n)$ se torna
\[ |P_{\text{total}}(n)| = |n^{\frac{2d(n)}{2}}| = |n^{d(n)}| \]
Mas há um detalhe, que é o sinal do resultado. Ele depende se há uma quantidade ímpar ou par de divisores.
Se a quantidade de divisores positivos $d(n)$ for par, teremos um número par de divisores negativos. Multiplicar uma quantidade par de sinais negativos resulta em um valor positivo:
\[ P_{\text{total}}(n) = n^{d(n)} \]
Se $d(n)$ for ímpar, teremos uma quantidade ímpar de fatores negativos, tornando o produto final negativo:
\[ P_{\text{total}}(n) = -n^{d(n)} \]
Obrigado por chegar até aqui ^^