Definições da Análise Real

|

André

Por
Tabela de conteúdos
  1. Número irracional
  2. Número real
  3. Conjunto dos números reais
  4. Conjunto de números reais limitado superiormente
  5. Conjunto de números reais limitado inferiormente
  6. Conjunto de números reais limitado
  7. Supremo
  8. Sequência de números reais
  9. Subsequência
  10. Sequência limitada superiormente
  11. Sequência limitada inferiormente
  12. Sequência limitada
  13. Sequência monótona
  14. Limite de uma sequência
  15. Sequência convergente
  16. Sequência divergente
  17. Sequência que vai para o infinito
  18. Sequência de somas parciais
  19. Série
  20. Série convergente
  21. Série divergente
  22. Função de números reais
  23. Limite de uma função
  24. Função crescente

— publicidade —

Número irracional

Número real

Conjunto dos números reais

Denotarei o conjunto dos números reais por $\mathbb{R}$.

Conjunto de números reais limitado superiormente

Seja $A$ um conjunto de números reais. $A$ é limitado superiormente se existe algum $b \in \mathbb{R}$ tal que $x \leq b$ para todo $x \in A$.

Conjunto de números reais limitado inferiormente

Conjunto de números reais limitado

Supremo

Seja $A$ um subconjunto de $\mathbb{R}$ limitado superiormente e não vazio. $s \in \mathbb{R}$ é o supremo de $A$ se:

\[\forall a \in A (a \leq s) \e \forall c \in \mathbb{R} (\forall x \in A \hspace{0.1cm} x \leq c \imp s \leq c)\]

Isto é, $s$ é a menor cota superior de $A$.

Sequência de números reais

Seja $(x_n)$ uma sequência infinita. $(x_n)$ é uma sequência de números reais se seu contradomínio é o conjunto dos números reais.

Daqui pra baixo chamarei as sequências de números reais apenas de sequências.

Subsequência

Sequência limitada superiormente

Sequência limitada inferiormente

Sequência limitada

Sequência monótona

Limite de uma sequência

Seja $L$ um número real. $L$ é o limite da sequência $(x_n)$ se $\forall \epsilon > 0$, $\exists n_0 \in \mathbb{N}$ tal que $n > n_0 \imp |x_n-a| < \epsilon$.

Sequência convergente

Seja $(x_n)$ uma sequência. $(x_n)$ é convergente se ela possui limite.

Sequência divergente

Sequência que vai para o infinito

Sequência de somas parciais

Seja $(a_n)$ uma sequência. A sequência $(s_n)$ onde

$s_1 = a_1$, $s_2 = a_1+a_2$, …, $s_n = a_1+a_2+…+a_n$

chama-se sequência de somas parciais da série $\sum a_n$.

Série

É uma soma infinita de números reais $s = a_1+a_2+a_3+…+a_n+…$ . Para que isso faça sentido, $s = \lim_{n \to \infty} (a_1+…+a_n)$.

Série convergente

Seja $\sum a_n$ uma série. Se $s = \lim_{n \to \infty} (a_1+…+a_n)$ existir, diremos que $\sum a_n$ é convergente.

Série divergente

Função de números reais

Seja $f$ uma função. $f$ é uma função de números reais se seu domínio e contradomínio forem subconjuntos de $\mathbb{R}$.

Daqui pra baixo, sempre que eu escrever ‘função’ estou me referindo a funções de números reais.

Limite de uma função

Função crescente

Referências

Análise Real volume 1 – Elon Lima

Deixe um comentário