Algumas propriedades da fronteira de um conjunto

Neste post farei 3 exercícios do livro Análise Real – Volume 1, do autor Elon Lages Lima, que esclarecem bastante coisa sobre o conceito de fronteira de um subconjunto de $\mathbb{R}$. Além disso provarei uma propriedade extra sobre a fronteira.

Os exercícios são:

Lista das definições que vamos usar

Como todas as provas se baseiam muito em “abrir” as definições que vamos usar, escreverei elas primeiro:

Note que toda vizinhança $a$ contém um intervalo do tipo $(a-\epsilon, a+\epsilon)$.

Exercício 1

Comecemos com o primeiro exercício:

Seja $X \subset \mathbb{R}$ e seja $x \in \mathbb{R}$. Existem exatamente 3 possibilidades excludentes para o ponto $x$:

• existe pelo menos uma vizinhança $V$ de $x$ que está contida em $X$.
• existe pelo menos uma vizinhança $V$ de $x$ que está contida em $\mathbb{R}-X$.
• toda vizinhança de $x$ não está contida em $X$ e toda vizinhança de $x$ não está contida em $\mathbb{R}-X$.

Na primeira possibilidade, $x \in \text{int} \, X$ pela definição de vizinhança e de interior de um conjunto.

Na segunda possibilidade, $x \in \text{int}(\mathbb{R}-X)$ pela definição de vizinhança e de interior de um conjunto.

Na terceira possibilidade, toda vizinhança de $x$ contém pontos de $X$ (por não estar contida em $\mathbb{R}-X$) e pontos de $\mathbb{R}-X$ (por não estar contida em $X$). Logo, $x \in \text{fr} \, X$, pela definição de fronteira.

Segue que $x \in \text{int} \, X \cup \text{int}(\mathbb{R}-X) \cup \text{fr} \, X$ e portanto $\mathbb{R} \subset \text{int} \, X \cup \text{int}(\mathbb{R}-X) \cup \text{fr} \, X$. Logo, $\mathbb{R} = \text{int} \, X \cup \text{int}(\mathbb{R}-X) \cup \text{fr} \, X$.

Para provar que a união é disjunta, note que se ela não fosse então duas dessas possibilidades deveriam ocorrer simultaneamente, mas isso é impossível pois elas são possiblidades excludentes entre si.

Agora provemos o se e só se da questão.

($\imp$)

Suponha que $A \subset \mathbb{R}$ é aberto. E suponha por absurdo que $A \cap \text{fr} \, A$ seja não vazio. Então existe $x \in A \cap \text{fr} \, A$, isto é, $x \in A = \text{int} \, A$ e $x \in \text{fr} \, A$. Temos então que existe uma vizinhança $V$ de $x$ que está contida em $A$ e que toda vizinhança de $x$ contém pontos de $A$ e de $\mathbb{R}-A$. Absurdo, pois $V$ não pode conter pontos de $\mathbb{R}-A$ para estar contida em $A$.

($\Leftarrow$)

Suponha que $A \cap \text{fr} \, A = \emptyset$. Devo provar que $A \subset \text{int} \, A$ pois $\text{int} \, A \subset A$ é imediato.

Seja $x \in A$. Temos que $x$ não pode estar em $\text{fr} \, A$. Logo, existe pelo menos uma vizinhança $V$ de $x$ que não contém pontos de $A$ e de $\mathbb{R}-A$ ao mesmo tempo. Isto é, $V$ deve estar contida em $A$ ou em $\mathbb{R}-A$. Mas como $x$ pertence a $V$, $V \cap A \neq \emptyset$ e portanto $V$ não pode estar contida em $\mathbb{R}-A$, logo $V$ está contida em $A$ e então $x \in \text{int} \, A$.

Exercício 2

O segundo exercício é:

Seja $X \subset \mathbb{R}$. Como toda igualdade de conjuntos, devo provar uma dupla inclusão.

($\subset$)

Seja $x \in \overline{X}$. Se $x \in X$ não há nada a provar. Suponha então que $x \notin X$. Como $x \in \overline{X}$, temos que toda vizinhança de $x$ contém pelo menos um ponto de $X$. E como $x \notin X$ (e toda vizinhança de $x$ contém o próprio $x$), toda vizinhança de $x$ conterá um ponto fora de $X$ (a saber, o próprio $x$). Segue que $x \in \text{fr} \, X$ pela definição de fronteira.

Logo, ou $x \in X$ ou $x \in \text{fr} \, X$, isto é, $x \in X \cup \text{fr} \, X$.

($\supset$)

Seja $x \in X \cup \text{fr} \, X$. Se $x \in X$, então $x \in \overline{X}$, pois todo conjunto está contido em seu fecho.

Suponha então que $x \in \text{fr} \, X$. Então toda vizinhança de $x$ contém pontos de $X$, logo $x \in \overline{X}$ pela definição de fecho.

Como em ambas as possibilidades $x \in \overline{X}$, segue que $x \in \overline{X}$.

Agora provemos o se e só se da questão.

($\imp$)

Suponha que $X$ é fechado. Então $X = \overline{X}$. Mas acabamos de provar que $\overline{X} = X \cup \text{fr} \, X$, logo $\overline{X} = X \cup \text{fr} \, X = X$. Pelo que sabemos de teoria dos Conjuntos segue que $X \supset \text{fr} \, X$.

($\Leftarrow$)

Suponha que $X \supset \text{fr} \, X$. Segue que $X \cup \text{fr} \, X = X$. Como $\overline{X} = X \cup \text{fr} \, X$, segue que $\overline{X} = X \cup \text{fr} \, X = X$ e portanto $X$ é fechado.

Exercício 3

Por fim:

O seguinte teorema (bem forte) do Elon praticamente mata essa questão:

Suponha que $X$ tem fronteira vazia. Pelo exercício 2 $X$ é fechado, já que $\overline{X} = X \cup \text{fr} \, X = X \cup \emptyset = X$. E pelo exercício 1 $X$ é aberto, pois $X \cap \text{fr} \, X= X \cap \emptyset = \emptyset$. Logo, $X$ é fechado e aberto ao mesmo tempo. Segue do teorema acima que $X = \emptyset$ ou $X = \mathbb{R}$.

Propriedade extra

Apesar de não ser um exercício do livro, também quero provar uma propriedade extra sobre a fronteira de um conjunto:

Temos que para todo $X \subset \mathbb{R}$:

\[ \text{fr} \, X = \overline{X}-\text{int} \, X \]

Intuitivamente esse resultado diz que se pegarmos tudo que está perto de $X$ ($\overline{X}$) e tirarmos seu “miolo” ($\text{int} \, X$), o que sobra é justamente a fronteira de $X$.

Prova:

($\subset$)

Seja $x \in \text{fr} \, X$. Temos que ou $x \in X$ ou $x \notin X$.

Se $x \in X$ então automaticamente $x \in \overline{X}$, pois $X \subset \overline{X}$. Além disso, como toda vizinhança de $x$ contém pontos fora e dentro de $X$, nenhuma delas pode estar contida em $X$, logo $x \notin \text{int} \, X$. Segue que $x \in \overline{X}-\text{int} \, X$.

Se $x \notin X$, então automaticamente $x \notin \text{int} \ X$, pois toda vizinhança de $x$ contém o próprio $x$. Além disso, como $x \in \text{fr} \, X$, toda vizinhança de $x$ contém pontos de $X$, logo $x \in \overline{X}$. Segue que $x \in \overline{X}-\text{int} \, X$.

Como em ambas as possibilidades $x \in \overline{X}-\text{int} \, X$, a continência foi provada.

($\supset$)

Seja $x \in \overline{X}-\text{int} \, X$. Temos que $x \in \overline{X}$ e $x \notin \text{int} \, X$.

Como $x \in \overline{X}$, toda vizinhança de $x$ contém pontos de $X$. Além disso, como $x \notin \text{int} \, X$, nenhuma vizinhança de $x$ pode estar contida em $X$, logo toda vizinhança de $x$ contém algum ponto fora de $X$. Segue que toda vizinhança de $x$ contém pontos fora e dentro de $X$ e portanto $x \in \text{fr} \, X$.

Comentários

Por fim, gostaria de fazer alguns comentários sobre o que provamos e descobrimos.

Primeiro, note que um conjunto aberto não pode conter sua fronteira, pois é disjunto a ela. Mas isso não quer dizer que um conjunto aberto não tem fronteira. Todo conjunto aberto tem fronteira (com exceção do $\emptyset$ e de $\mathbb{R}$), mas ela não está contida nele. Já os conjuntos fechados contém sua fronteira. Ou seja, um ponto de fronteira de um conjunto pode ou não pertencer ao conjunto.

Segundo, uma fronteira não é necessariamente composta de dois elementos. Eu cheguei a pensar isso, pois os primeiros subconjuntos da reta que penso são os intervalos. As fronteiras dos intervalos são de fato somente dois elementos, mas a fronteira do conjunto $X = [1, 2] \cup [5, 6]$ é $\text{fr} \, X = \{1, 2, 5, 6 \}$. Nas bonitas palavras do chat gpt: “A fronteira não mede o “fim” geométrico esquerda/direita de um conjunto. Ela mede as zonas de transição e contato entre o conjunto e o seu complementar. Se o conjunto for muito fragmentado ou misturado com o complementar (como os racionais e irracionais), a fronteira explode e pode ocupar o espaço inteiro.”

Terceiro, a fronteira de $\mathbb{Q}$ é toda reta. De fato, como todo intervalo contém pontos racionais e irracionais, um intervalo qualquer centrado em um ponto qualquer vai conter pontos fora e dentro de $\mathbb{Q}$, ou seja, o ponto qualquer é da fronteira de $\mathbb{Q}$. Note que $\mathbb{Q}$ contém alguns dos seus pontos de fronteira mas não todos, logo $\mathbb{Q}$ não é aberto nem fechado.