Nesse post demonstrarei que a série harmônica diverge.
A ideia dessa demonstração é de 1350, e quem teve foi um matemático chamado Nicole Oresme.
Conteúdo do post
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O que significa uma série divergir
Antes de começar, explicarei o que significa uma série divergir.
Dizemos que uma série diverge quando o limite da sequência das suas somas parciais diverge. E a sequência de somas parciais de uma série é a sequência cujos termos são literalmente as somas parciais da série.
Por exemplo, no caso da série harmônica
\[ \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n} = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+… \]
Sua sequência de somas parciais $(s_n)$ é
- $s_1 = 1$
- $s_2 = 1+\frac{1}{2}$
- $\hspace{0.9cm} \vdots$
- $s_n = 1+\frac{1}{2}+…+\frac{1}{n}$.
E o valor da série harmônica é o limite, caso ele exista, de $(s_n )$ com $n$ tendendo para o infinito.
Caso o limite de $(s_n)$ não exista, dizemos que a série harmônica diverge e, portanto, não tem valor.
Tendo esclarecido todas as definições que usaremos, bora para a demonstração!
Demonstração
Para demonstrar que a série harmônica diverge mostrarei que sua sequência de somas parciais é ilimitada. Para isso, encontrarei uma subsequência dela que é ilimitada, pois, se uma subsequência é ilimitada, então a sequência também é. E toda sequência ilimitada é divergente.
Para encontrar essa subsequência ilimitada, agruparei os termos da série harmônica em blocos e mostrarei que cada bloco é maior que $\frac{1}{2}$. E como há infinitos blocos, a soma cresce sem limite.
Olhemos para a subsequência $s_{2^k}$ de $(s_n)$. Temos que:
- $s_{2^1} = 1+\frac{1}{2}$
- $s_{2^2} = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$
- $s_{2^3} = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}$
- $\hspace{0.9cm} \vdots$
Repare que:
\[ s_{2^1} = 1+\frac{1}{2} \geq 1+\frac{1}{2} \]
\[ s_{2^2} = 1+\frac{1}{2}+\underbrace{\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)}_{>\frac{1}{2}} > 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2} = 1+\frac{2}{2} \]
\[ s_{2^3} = 1+\frac{1}{2}+\underbrace{\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4} \right)}_{> \frac{1}{2}}+\underbrace{\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8} \right)}_{> \frac{1}{2}} > 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2} = 1+\frac{3}{2} \]
O que estou tentando te mostrar é que $s_{2^k} > 1+\frac{k}{2}$.
É preciso provar essa afirmação por indução, mas a prova é difícil (para mim). Espero ter te convencido mostrando que é verdade para $k = 1, 2, 3$.
Como $1+\frac{k}{2}$ vai para o infinito quando $k$ vai pro infinito, provamos que $s_{2^k}$ vai para o infinito, e é, portanto, ilimitada.
Segue que a sequência de somas parciais da série harmônica também é ilimitada e, portanto, divergente. Logo, a série harmônica é divergente.
Dedução de quando a série ultrapassa o valor 10
A subsequência ilimitada que obtemos, além de ser útil para provar a divergência da série, também pode nos dar outra informação interessante.
Uma dúvida que sempre tenho ao mexer com séries é: quando a série ultrapassa um valor x?
No caso da série harmônica, podemos nos perguntar quando ela ultrapassa o valor 10?
É bem difícil saber disso usando a fórmula geral da série harmônica ($\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n}$), mas dá pra saber usando a subsequência ilimitada que vimos.
Sabemos que $s_{2^k} > 1+\frac{k}{2}$, então se $k = 18$ teremos que $s_{2^{18}} > 1+\frac{18}{2} = 1+9 = 10$. Logo, $s_{2^{18}}$ é maior que 10.
Provavelmente esse não é o menor $k$ tal que $s_n$ é maior que 10, mas pelo menos é um $k$ que satisfaz o que pedimos.
Só para termos ideia, $2^{18}$ é $262144$. Ou seja, com mais de 200 mil parcelas temos certeza que a soma já ultrapassou 10.
Diário de Estudos
Aqui no blog tenho tentado evitar a palavra usar a palavra ‘prova’ em argumentos que não estão escritos em uma linguagem artificial (cuja gramática é fixa), pois, para mim, só argumentos assim são dignos de serem chamados de prova. Estou dizendo isso pois finalmente encontrei uma boa palavra pra usar: ‘demonstração’. Acho que demonstrar passar uma ideia de que você está mostrando um argumento, e não provando uma afirmação. Por isso, a partir de agora, nesses posts onde ‘dedução’ não se encaixa, usarei a palavra ‘demonstração’.