Lista de definições da Teoria dos Números na linguagem da Teoria dos Conjuntos.
Número natural
Um número natural é um conjunto tal que:
$0 = \emptyset$
$s(n) = n \cup \{n \}$
onde $s(n)$ é o sucessor de $n$.
Conjunto dos números naturais
O conjunto dos números naturais $\mathbb{N}$ é o conjunto de todos os números naturais (e nada mais). Isto é:
$\mathbb{N} = \{ \emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}, … \}$
Soma de naturais
Ser menor ou igual
Sejam $a, b$ números naturais. $a$ é menor ou igual a $b$ se $a \in b$ ou $a = b$.
Denotarei $a$ ser menor ou igual a $b$ por $a \leq b$.
Número inteiro
Seja $\sim \, \subset \mathbb{N} \times \mathbb{N}$ a relação de equivalência de pares de números naturais onde:
$(a, b) \sim (c, d) \sse a+d = b+c$
A classe de equivalência $\overline{(a, b)}$ “é” o número inteiro $a-b$.
Conjunto dos números inteiros
O conjunto dos números inteiros $\mathbb{Z}$ é o conjunto de todos os números inteiros (e nada mais). Isto é,
$\mathbb{Z} = \mathbb{N} \times \mathbb{N} \ / \sim$
Soma de inteiros
Sejam $a, b, c, d$ números naturais e $\overline{(a, b)}, \overline{(c, d)}$ números inteiros. a soma $\overline{(a, b)}+\overline{(c, d)}$ é o número inteiro $\overline{(a+c, b+d)}$.
Se $a$ e $b$ forem dois números inteiros, denotarei sua soma por $a+b$.
Produto de inteiros
Sejam $\overline{(a, b)}, \overline{(c, d)}$ números inteiros. o produto $\overline{(a, b)} \cdot \overline{(c, d)}$ é o número inteiro $\overline{(ac+bd, ad+bc)}$.
Se $a$ e $b$ forem dois números inteiros, denotarei seu produto por $ab$.
Divisão de inteiros
Seja $a$ um números inteiro não nulo e $b$ um número inteiro qualquer. $a$ divide $b$ se existe $c \in \mathbb{Z}$ tal que $b = ac$.
Se $a$ divide $b$, denotarei isso por $a | b$.
Número primo
Seja $p$ um número inteiro diferente de $0, 1$ e $-1$. $p$ é primo se seus únicos divisores são $\pm 1$ e $\pm p$.
Máximo divisor comum
Sejam $a$ e $b$ números inteiros. o máximo divisor comum (MDC) de $a$ e $b$ é o maior número inteiro que divide $a$ e $b$ simultâneamente.
Número racional
Referências
Teoria Ingênua dos Conjuntos – Paul Halmos
Lógica Matemática – Rogério Fajardo