Esta é uma lista de algumas das definições que nos deparamos ao estudar Teoria de Conjuntos.
Nesta lista estou assumindo que conjuntos são elementos primitivos e que eles são as únicas coisas que existem. Isto significa que os elementos dos conjuntos também são conjuntos.
- Subconjunto
- Igualdade de conjuntos
- Conjunto vazio
- Conjunto das partes
- Par ordenado
- Produto cartesiano
- Relação
- Relação de equivalência
- Classe de equivalência
- Conjunto quociente
- Partição
- Função
- Imagem inversa
- Função sobrejetora
- Função injetora
- Função bijetora
- Família
- União de uma família
- Sequência
- Conjunto finito
- Conjunto infinito
- Conjunto enumerável
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Subconjunto
Seja $A$ um conjunto. $B$ é um subconjunto de $A$ se todo elemento de $B$ está em $A$.
Direi que $B$ está contido em $A$ se $B$ for um subconjunto de $A$.
Igualdade de conjuntos
Sejam $A$ e $B$ conjuntos. $A$ e $B$ são iguais se $A$ está contido em $B$ e $B$ está contido em $A$.
Conjunto vazio
Seja $A$ um conjunto. $A$ é o conjunto vazio se $A$ não possui elementos.
Denotarei o conjunto vazio por $\emptyset$.
Conjunto das partes
Seja $A$ um conjunto. O conjunto das partes $\wp (A)$ é o conjunto de todos os subconjuntos de $A$.
Em termos mais simbólicos: $\wp (A) = \{x / x \subset A\}$ .
Par ordenado
Sejam $a$, $b$ elemento de um conjunto $A$. O par ordenado $(a, b)$ é exatamente o conjunto $\{\{a\}, \{a, b\}\}$ que pertence ao conjunto $\wp (\wp (A))$.
Em termos mais simbólicos: $(a, b) = \{\{a\}, \{a, b\}\}$.
Produto cartesiano
Sejam $A$ e $B$ conjuntos. O produto cartesiano $A \times B$ de $A$ e $B$ é o conjunto de todos os pares ordenados $(a, b)$ tal que $a \in A$ e $b \in B$.
Em termos mais simbólicos: $A \times B = \{(a, b) / a \in A \e b \in B\}$.
Denotamos $A \times A \times A … $ iterado $n$ vezes como $A^n$.
Relação
Seja $A$ um conjunto e $n$ um número natural. Uma relação $R$ dos elementos de $A$ é qualquer subconjunto do produto cartesiano $A^n$.
Se $n =2$, a relação $R$ é chamada de relação binária.
Relação de equivalência
Seja $A$ um conjunto não vazio e seja $R \subset A \times A$ uma relação binária. $R$ é uma relação de equivalência se:
$(a,a) \in R$ para todo $a \in A$ (reflexividade)
Se $\exists a, b \in R$ tal que $(a,b) \in R$ então $(b,a) \in R$ (simetria)
Se $\exists a, b, c \in R$ tal que $(a,b) \in R$ e $(b,c) \in R$ então $(a,c) \in R$ (transitividade)
Se denotarmos $R$ como $\sim$, e $(a, b) \in R$ como $a \sim b$, então $\sim$ é uma relação de equivalência se:
$a \sim a$ para todo $a \in A$ (reflexividade)
Se $\exists a, b \in \ \sim$ tal que $a \sim b$ então $b \sim a$ (simetria)
Se $\exists a, b,c \in \ \sim$ tal que $a \sim b$ e $b \sim c$ então $a \sim c$ (transitividade)
Classe de equivalência
Seja $A$ um conjunto não vazio e seja $x \in A$ um elemento de $A$. $\overline{x}$ é uma classe de equivalência do elemento $x$ em relação a uma relação de equivalência $\sim$ se $\overline{x}$ é conjunto de todos os elementos relacionados a $x$ por $\sim$.
Em termos mais simbólicos: $\overline{x}=\{y \in A / x \sim y\}$
Conjunto quociente
Sejam $A$ um conjunto não vazio e $\sim$ uma relação de equivalência em $A$. $A \setminus \sim$ é um conjunto quociente de $A$ pela relação de equivalência $\sim$ se $A \setminus \sim$ é o conjunto de todas as classes de equivalência $\overline{x}$ determinadas por uma relação de equivalência $\sim$.
Partição
Sejam $A$ um conjunto não vazio e $P(A)$ o conjunto das partes de $A$. $\mathbb{P} \subset P(A)$ é uma partição do conjunto $A$ se:
Para todo $B_1$, $B_2 \in \mathbb{P}$, temos que $B_1 \neq B_2 \imp B_1 \cap B_2 = \emptyset$
$\bigcup\limits_{B_i \in \mathbb{P}} B_i = A$, onde $B_i$ é a família dos conjuntos pertencentes a $\mathbb{P}$ e, portanto, $i$ varia de $1$ até a cardinalidade de $\mathbb{P}$.
Função
Sejam $A$ e $B$ conjuntos não vazios. Uma função $f$ de $A$ em $B$ é um sub-conjunto de $A \times B$ tal que $\forall x, y, z \in A$, $(x, y) \in f$ e $(x, z) \in f \imp y = z$.
O conjunto $A$ é chamado de domínio e o conjunto $B$ é chamado de contradomínio da função $f$.
A partir daqui, denotaremos $(x, y) \in f$ como $y = f(x)$.
Imagem inversa
Função sobrejetora
Seja $f$ uma função de $A$ em $B$. $f$ é sobrejetora se $\forall y \in B$, $\exists x \in A$ tal que $y = f(x)$.
Função injetora
Seja $f$ uma função de $A$ em $B$. $f$ é injetora se $\forall x, y \in A$, $f(x) = f(y) \imp x = y$.
Função bijetora
Seja $f$ uma função de $A$ em $B$. $f$ é bijetora se ela for injetora e sobrejetora.
Família
Uma família $\{x_i\}$ é uma função qualquer.
União de uma família
Seja $\{x_i\}$ uma família. $\bigcup\limits_{i \in I} x_i$ é a união da família $\{x_i\}$ se for a união dos elementos da imagem da família $\{x_i\}$.
Sequência
Seja $\{x_i\}$ uma função. $\{x_i\}$ é uma sequência se seu domínio é um número natural ou o conjunto do números naturais.
Se o domínio for um número natural, a sequência é finita. E se o domínio for os números naturais, a sequência é infinita.
Conjunto finito
Seja $n$ um número natural. $A$ é um conjunto finito se $A$ for vazio ou se existem uma bijeção $f: n \to A$.
Conjunto infinito
Seja $A$ um conjunto. $A$ é um conjunto infinito se não for finito. Isto é, se $\forall n \in \mathbb{N}$, não existe bijeção de $n$ para $A$.
Conjunto enumerável
Seja $A$ um conjunto. $A$ é enumerável se é finito ou se existe uma bijeção $f: \mathbb{N} \to A$.
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