Esta é uma lista de algumas das definições que nos deparamos ao estudar Álgebra Abstrata.
Definirei tudo em termos de conjuntos.
- Teoria de Grupos
- Operação
- Grupo
- Grupo abeliano
- Grupo de permutações
- Subgrupo
- Centro de um grupo
- Subgrupo gerado por um subconjunto
- Subgrupo dos comutadores
- Grupo cíclico
- Ordem de um grupo
- Ordem de um elemento de um grupo
- Classes lateral a esquerda
- Índice do conjunto de classes laterais à esquerda
- Subgrupo normal
- Grupo quociente
- Homomorfismo de grupos
- Isomorfismo de grupos
- Automorfismo
- Grupo de automorfismos
- Automofirsmo interno
- Grupo dos automofirsmos internos
- Grupo simples
- p-grupo
- Teoria de Anéis
- Teoria de Domínios
- Teoria de Corpos
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Teoria de Grupos
Operação
Seja $A$ um conjunto não vazio. Uma operação $*$ em $A$ é uma função cujo o domínio é $A^n$ e o contradominio é $A$, onde $n \in \mathbb{N}$.
Se $n = 2$, então a operação é binária.
Note que toda função é uma operação e toda operação é uma função.
A partir daqui, $*(a,b)$ será denotado por $a * b$.
Quando não houver risco de confusão poderei denotar $a * b$ por $ab$.
Grupo
Seja $G$ um conjunto não vazio e $*$ uma operação. Dizemos que o par ordenado $(G, *)$ é um grupo se as seguintes condições são satisfeitas:
i) A operação é associativa, isto é, $a*(b*c) = (a*b)*c$, $\forall a, b, c \in G$.
ii) Existe um elemento neutro, isto é, $\exists e \in G$ tal que $e*a = a*e = a$, $\forall a \in G$.
iii) Todo elemento possui um inverso, isto é, $\forall a \in G$, $\exists b \in G$ tal que $a*b = b*a = e$.
Quando não houver risco de ambiguidade, me referirei ao grupo $(G, *)$ apenas por $G$.
Grupo abeliano
Seja $(G, *)$ um grupo. $(G, *)$ é um grupo abeliano se a operação $*$ for comutativa. Isto é
$a \cdot b = b \cdot a$, $\forall a, b \in G$
Grupo de permutações
Seja $C$ um conjunto finito qualquer e $Bij(C)$ o conjunto de todas as bijeções de $C$ em $C$. Chamamos $Bij(C)$ de grupo de pemutações.
Subgrupo
Seja $(G, *)$ um grupo. Um subconjunto não vazio $H$ de $G$ é um subgrupo de $G$ quando, com a operação de $G$, o conjnto $H$ é um grupo.
Denotamos um subgrupo $H$ de $G$ por $H < G$.
Centro de um grupo
Seja $G$ um grupo. O centro $Z(G)$ de $G$ é o subgrupo $ \{x \in G | xg = gx, \forall g \in G \}$.
Subgrupo gerado por um subconjunto
Seja $S$ um subconjunto não vazio de um grupo $G$. o conjunto $\{ a_1 a_2 … a_n / n \in \mathbb{N}, a_i \in S \; \text{ou} \; a_i \in S^{-1} \}$ é o subgrupo gerado por $S$.
Denotarei o subgrupo gerado pelo conjunto $S$ por $\langle S \rangle$
Subgrupo dos comutadores
Seja $G$ um grupo. O subgrupo dos comutadores $G’$ é o subgrupo $\langle \{xyx^{-1}y^{-1} | x, y \in G \} \rangle$.
O nome de um elemento do subgrupo dos comutadores é comutador.
Grupo cíclico
Um grupo $G$ é cíclico quando ele pode ser gerado por um elemento. Isto é, quando $G = \langle g \rangle$, para algum $g \in G$.
Ordem de um grupo
A ordem de um grupo $G$ é o número de elementos em $G$.
Denotarei a ordem de $G$ por $|G|$.
Ordem de um elemento de um grupo
Seja $G$ um grupo e $\alpha$ um elemento de G. A ordem de $\alpha$ é a ordem do subgrupo gerado por $\alpha$.
Classes lateral a esquerda
Seja $G$ um grupo, $H$ um subgrupo de $G$ e $\sim$ a seguinte relação de equivalência em $G$:
$y \sim x \sse \exists h \in H$ tal que $y = xh$
A classe de equivalência que contém $x$ é a classe lateral de $x$ à esquerda.
Denotarei a classe lateral de $x$ à esquerda por $xH$.
Índice do conjunto de classes laterais à esquerda
O índice de $H$ em $G$ é cardinalidade do conjunto das classes laterais à esquerda.
Denotarei o índice de $H$ em $G$ por $(G : H)$.
Subgrupo normal
Seja $G$ um grupo e $H$ um subgrupo de $G$. $H$ é um subgrupo normal se $gHg^{-1} = H$, $\forall g \in G$, onde $gHg^{-1} = \{ghg^{-1} | g \in G$ e $h \in H \}$.
Grupo quociente
Sejam $G$ um grupo e $H$ um subgrupo normal de $G$. O grupo de suas classes laterais, com a operação induzida de $G$, é chamado de grupo quociente de $G$ por $H$.
Denotareo o grupo quociente de $G$ por $H$ por $G/H$.
Confesso que eu deveria definir a operação induzida antes, mas dá muito trabalho.
Homomorfismo de grupos
Sejam $(G, *)$ e $(\mathcal{G}, \times)$ dois grupos. Uma função $f: G \to \mathcal{G}$ é um homomorfismo de grupos se ela é compatível com as estruturas dos grupos, isto é, se $f(a*b) = f(a) \times f(b)$, $\forall a, b \in G$.
Isomorfismo de grupos
Seja $f: G \to \mathcal{G}$ um homomorfismo. $f$ é um isomorfismo se for uma função bijetora.
Automorfismo
Seja $G$ um grupo. Um automorfismo de $G$ é um isomorfismo $f: G \to G$.
Grupo de automorfismos
Seja $G$ um grupo. O conjunto de todos os automorfismos de $G$ com a operação composição de funções é o grupo de automorfismos de $G$.
Denotarei o grupo de automorfismos de $G$ por $Aut(G)$.
Automofirsmo interno
Seja $G$. Um automofirsmo interno $I_g$ de $G$ é um automorfismo $I_g: G \to G$ tal que $I_g (x) = gxg^{-1}$ para algum $g \in G$.
Grupo dos automofirsmos internos
Seja $G$ um grupo. O grupo dos automorfismos internos de $G$ é o conjunto de todos os automorfismos internos de $G$. Isto é:
$ I(G) = \{ I_g / g \in G \}$
Grupo simples
Seja $G$ um grupo. $G$ é simples se $G$ e $\{e \}$ são seus únicos subgrupos normais.
p-grupo
Seja $G$ um grupo e $p$ um número primo. $G$ é um p-grupo se $|G|$ é igual a uma potência de $p$.
Teoria de Anéis
Anel
Sejam $A$ um conjunto não vazio e $(+), (\cdot)$ duas operações binárias em $A$, chamadas de adição e multiplicação. A tripla ordenada $(A, +, \cdot)$ é um anel se as operações tiverem as seguintes propriedades:
$\forall a, b, c \in A$, $(a + b) + c = a + (b + c)$. (associatividade da adição)
$\forall a, b \in A$, $a + b = b + a$. (comutatividade da adição)
$\exists 0 \in A$, tal que $\forall a \in A$, $a + 0 = 0 + a = a$. (elemento neutro da adição)
$\forall a \in A$, $\exists – a \in A$ tal que $a + (-a) = 0$. (inverso da adição)
$\forall a, b, c \in A$, $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$. (distributividade)
Se a multiplicação também for comutativa, dizemos que o anel é comutativo.
E se existir um elemento neutro da multiplicação, chamamos ele de unidade, denotamos ele de $1$ e dizemos que o anel é um anel com unidade.
Quando não houver risco de ambiguidade, denotaremos $(A, +, \cdot)$ simplesmente por $A$.
Depois que eu definir grupo definirei anel em termos de grupos, ai vai ficar uma “escadinha” legal nas definições, pois também definirei domínio em termos de anel e corpo em termos de domínio.
Subanel
Ideal
É a melhor ferramenta para estudar divisibilidade que conheço.
Elemento invertível de um anel
Sejam $A$ um anel com unidade e $a$ um elemento não nulo de $A$. $a$ é invertível se $\exists u \in A$ tal que $a \cdot u = u \cdot a = 1$.
Elementos associados de um anel
Sejam $A$ um anel e $a, b$ elementos não nulos de $A$. $a$ e $b$ são associados em $A$ se $\exists u \in A$, onde $u$ invertível e $a = u \cdot b$.
Ser divisível
Elemento irredutível de um anel
Seja $a$ um elemento não nulo e não invertível de um anel $A$. $a$ é irredutível se
$\forall b, c \in A$, $a = bc \imp b$ ou $c$ é invertível em $A$.
Outra definição de elemento irredutível de um anel
Seja $a$ um elemento não nulo e não invertível de um anel $A$. $a$ é irredutível se todo divisor de $a$ é invertível ou associado de $a$.
Pode-se mostrar que em domínios de integridade, essas duas definições de elemento irredutível são equivalentes.
MDC
Homomorfismo de anéis
Isomorfismo de anéis
Seja $f: A \longrightarrow B$ um homomorfismo. $f$ é um isomorfismo se ela for bijetora.
Teoria de Domínios
-colocar a tabela que o farles fez de dominio bem ordenado contido em dominio euclidiano contido em dominio principal
Domínio de integridade
Seja $(D, +, \cdot)$ um anel comutativo com unidade. $(D, +, \cdot)$ é um domínio de integridade se
$\forall a, b \in D$, $ a \cdot b = 0 \imp a = 0$ ou $b = 0$.
Domínio bem ordenado
Domínio euclidiano
Domínio principal
Homomorfismo de domínios
Isomorfismo de domínios
Note que isomorfismos entre domínios preservam irredutibilidade, como eu provei aqui:
Prova de que isomorfismos de domínios preservam irredutibilidade – Quarto 707
Os isomorfismos devem preservar qualquer propriedade definível em uma estrutura, não só irredutibilidade.
Teoria de Corpos
-colocar uma foto de um corpo contido num dominio contido num anel
Corpo
Note que todo corpo é um domínio.
Corpo ordenado
Corpo ordenado completo
Essa vai ser a última definição dessa nota, pois aqui começa o post de definições da análise que já está em produção.
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