Em novembro de 2023 eu decidi que queria ler um livro de lógica.
Rapidamente caí no livro Introdução à Lógica, do Cézar Mortari, por sua ótima fama no meio acadêmico.
Agora em abril de 2025 eu li e fiz todos os exercícios de 17 capítulos do livro (com exceção da seção 17.3).
Faz algumas férias em que venho fazendo isso e finalmente estou prestes a acabá-lo (faltará apenas o capítulo 18 e o apêndice para eu terminá-lo).
Graças a isso, nesse post irei resumir o Mortari, para aqueles que querem ter uma noção sobre o que é que o livro fala pela perspectiva de um estudante de matemática.
Atualizarei esse post sempre que eu reler o Mortari posteriormente em minha vida.
Caso queira ver mais posts meus sobre o livro, acesse:
Dúvidas de lógica para o meu eu do futuro – Quarto 707
Dúvidas de lógica para o meu eu do futuro parte 2 – Quarto 707
Dúvidas de lógica para o meu eu do futuro parte 3 (FINAL!) – Quarto 707
Resumo separados por blocos de capítulos:
Resumo dos capítulos 1 a 4
Segue o sumário desse bloco de capítulos. Colocarei ele no início de cada bloco.
Uma das coisas que gostei no capítulo 1 foi a separação entre inferência (ou raciocínio) e verdade.
A inferência é um fenômeno, o ato de você concluir algo, que muitas vezes é descrito como quando seu cérebro “dá um estalo” e você conclui alguma coisa. Mas essa conclusão não é necessariamente verdade, ela pode ser verdadeira ou falsa, e isso não era óbvio pra mim!
Uma das coisas que a lógica busca é justamente descobrir quando inferências são verdadeiras ou não.
No capítulo 1 o Mortari também diferencia proposições de sentenças.
Uma das diferenças entre sentenças e proposições é que sentenças podem ser ambíguas e proposições não.
Uma coisa que eu não sabia é que uma proposição pode ser falsa. No meio matemático, proposições e teoremas são meio que tratados como sinônimos, então eu assumi que proposições nunca poderiam ser falsas.
No capítulo 1 o Mortari define argumento.
(todas as definições destes e dos futuros capítulos estão em termos de conjuntos)
No capítulo 2 o Mortari nos conta um breve resumo sobre a história da lógica. Eu já fiz o mesmo num outro texto aqui no blog (onde usei o o Mortari como fonte principal). Caso queira vê-lo, clique aqui:
História da Lógica – Quarto 707
No capítulo 2 o Mortari define argumento válido e argumento correto.
No capítulo 4, uma prova legal que o Mortari faz é provar que 
é enumerável e que 
é não enumerável.
Meus nêmesis nesses capítulos introdutórios foram os conceitos de linguagem objeto e metalinguagem, uso e menção e extensão e intensão.
Resumo dos capítulos 5 a 7
No capítulo 5 o Mortari nos apresenta a nossa primeira lógica, o 
(abreviação de Cálculo Proposicional Clássico), e explica como funciona sua linguagem e sua sintaxe.
A linguagem do só é capaz de expressar proposições. Chamamos os elementos de uma linguagem formal de fórmulas.
No capítulo 5 o Mortari define fórmula da linguagem do . A definição de fórmula é recursiva, sendo também uma definição de linguagem do .
No capítulo 6 o Mortari fala sobre a semântica do .
A semântica de uma lógica (ou de sua linguagem formal) é o estudo das interpretações que damos à linguagem.
A semântica da linguagem do (ou somente semântica do ) é feita usando teoria de conjuntos. Essa ideia é a que mais me tirou o sono de todo o livro, pois ela aparenta gerar uma circularidade.
Me aprofundo um pouquinho nisso nesse post:
Dúvidas de lógica para o meu eu do futuro parte 2 – Quarto 707
Ainda farei um post à parte sobre a semântica do . Mas, de forma resumida, a interpretação (ou significado) que damos a uma fórmula do é um elemento do conjunto 
.
Uma valoração atribui interpretação a uma fórmula atômica e o Princípio de Frege atribui interpretação para fórmulas moleculares.
O Mortari comenta sobre o princípio de Frege no capítulo 6, e ele liga sintaxe e semântica.
No capítulo 6 o Mortari define: valoração e condições de verdade para as fórmulas moleculares.
No capítulo 7 o Mortari continua falando sobre a semântica do , dessa vez ensinando a criar e a usar tabelas verdade de fórmulas moleculares, conceito muito conhecido entre aqueles que estudam lógica.
No capítulo 7 o Mortari define: tautologia, contradição, contingência, modelo, conjunto satisfatível e insatisfátivel, consequência tautológica e fórmulas tautologicamentes equivalentes.
Resumo dos capítulos 8 a 12
No capítulo 8 o Mortari nos apresenta a uma segunda lógica, o 
(ou cálculo de predicados de primeira ordem), e a sua sintaxe.
O alfabeto do é apenas uma extensão do alfabeto do .
No capítulo 9 o Mortari continua falando sobre a sintaxe do .
No capítulo 9 o Mortari define: linguagem geral do , linguagem de primeira ordem, termo da linguagem do e fórmula da linguagem do .
No capítulo 10 e 11 o Mortari fala sobre a semântica do .
A semântica do é algo bem difícil de resumir, então nem vou tentar. Direi apenas que ela também é feita usando a teoria de conjuntos.
Estrutura, conjunto universo e função interpretação são conceitos importantes da semântica do .
No capítulo 10 o Mortari define: estrutura de uma linguagem de primeira ordem e condições de verdade para fórmulas do .
No capítulo 11 o Mortari continua falando da semântica do .
Além disso ele apresenta algumas meta-propriedades da consequência lógica, nos dando um gostinho de metalógica. Nada me tira da cabeça que a metalógica é feita usando teoria de conjuntos.
No capítulo 11 o Mortari define: fórmula válida do , modelo e consequência lógica (semântica).
O capítulo 12 também é sobre a semântica do , mais especificamente sobre tablôs semânticos (ou árvores de refutação), outro conceito bem conhecido pelos estudantes de lógica.
Os tablôs possuem regras de construção do tablô. O mais difícil dos tablôs semânticos é justamente lembrar das regras de construção.
No capítulo 12 o Mortari demonstra o seguinte meta-teorema, que meio que justifica o que fazemos nos tablôs:
Seja 
um conjunto de fórmulas qualquer. 
se, e somente se, 
é insatisfatível.
Esse teorema garante que se construirmos um tablô fechado, então é insatisfátivel, e, portanto, .
Resumo dos capítulos 13 a 15
No capítulo 13 o Mortari nos apresenta os sistemas formais.
Sistemas formais são uma linguagem formal munida de axiomas e regras de inferências.
Todo sistema formal é uma lógica, mas nem toda lógica é um sistema formal.
Esse é o capítulo mais curtinho do livro, com apenas um exercício.
No capítulo 14 o Mortari fala sobre dedução natural, que é uma forma sintática de definir consequência lógica em uma lógica usando os axiomas e regras de inferência.
Existem regras de inferência pra caralho (primitivas e derivadas).
Todas as regras de inferência precisam de alguma maneira “preservar a verdade” de premissas verdadeiras.
O Mortari faz um bom trabalho explicando o motivo das regras de inferências serem do jeito que são. Mas as explicações são intuitivas, e não formais.
No capítulo 14 o Mortari define dedução e consequência lógica (sintática).
No capítulo 15 o Mortari continua a discussão sobre dedução natural.
Vale dizer que exercício 15.7 foi um dos mais difíceis de todo o livro pra mim (apenas alguns exercícios do capítulo 17 se equiparam). Nele, precisamos provar algumas regras de inferência derivadas. Isso é uma espécie de meta-teoremas, pois regras derivadas são apenas abreviações de deduções naturais.
No capítulo 15 é a primeira vez que o Mortari explica o que é um sistema de prova correto e completo.
A tese de doutorado do Godel foi provar que o é completo.
No capítulo 15 o Mortari define termo substituível, teorema e conjunto de fórmulas consistente.
Resumo dos capítulos 16 e 17
O capítulo 16 é sobre duas formas de estender o : acrescentando a igualdade e os símbolos funcionais ao seu alfabeto.
Com esses símbolos o poder de expressão da linguagem do aumenta muito (sendo o suficiente para expressar quase toda a matemática, creio eu).
A igualdade garante que as interpretações de duas constantes sejam iguais.
Esse capítulo é muito bom para treinarmos o que fizemos ao longo de todo o livro, pois ele não tem nada de completamente novo e usa quase tudo que vimos anteriomente.
Alguns exercícios de dedução natural do capítulo 16 são cabulosos.
No capítulo 16 o Mortari define termo de uma linguagem do 
e estrutura para a linguagem do 
.
O capítulo 17 é sem dúvidas o mais importante do livro pra mim, pois ele fala sobre a melhor aplicação da lógica: formalizar teorias.
Talvez justamente por ser o capítulo mais importante ele também seja um dos mais pesados. Eu sofri bastante tentando entender a teoria dele.
Nele o Mortari define teoria formalizada e muitas propriedades de uma teoria formalizada.
A distinção entre teoria axiomática e teoria efetivamente axiomática parece bem importante.
Uma coisa estranha das definições que o Mortari dá sobre teorias é que se uma teoria for fechada, todos os seus teoremas também são axiomas.
No capítulo 17, o Mortari dá 2 exemplos de teorias formalizadas: uma teoria sobre blocos e a aritmética.
O exemplo dos bloquinhos foi importante para eu perceber que os elementos do universo de uma teoria não precisam ser todos de uma mesma “classe”. Com classe quero dizer conjuntos apenas de seres humanos, ou apenas de objetos, ou apenas de objetos… Para evitar que o conjunto universo da nossa teoria seja assim, basta adicionar predicados para as diferentes “classes” dos elementos do universo. No universo dos bloquinhos haviam blocos e mesas.
Na seção sobre a aritmética do capítulo 17, o Mortari prova diversos teoremas interessantíssimos, como por exemplo que 1 + 1 = 2.
Os axiomas da aritmética do Mortari são meio estranhos, mas nada absurdo. Uma das coisas que contribuem para eu sentir isso é o Mortari ter escolhido fazer da indução matemática uma regra de inferência, e não um axioma.
Nessa seção o Mortari me mostrou que demonstrar a comutatividade dos números naturais na aritmética formalizada é complicado pra caralho!
No final do capítulo 17 o Mortari enuncia o famoso Teorema da Incompletude de Godel.
Por fim, quero registrar aqui que o gabarito da 17.4)i) parece estar errado.
No capítulo 17 o Mortari define teoria formalizada de primeira ordem e teoria efetivamente axiomatizável.
Comentários finais
É impossível resumir o Mortari num post de 2000 palavras. O livro tem 500 páginas e discute muito mais coisas do que as que eu comentei aqui. Por isso atualizarei esse texto sempre que eu descobrir ou entender mais coisas sobre o livro.
O pior é que ainda ficou faltando o capítulo 18 e o apêndice, mas não li essa parte ainda. Decidi que irei ler ela apenas quando acabar a graduação em matemática. Isso pois eu acho que esses capítulos não vão me ajudar em matemática, então talvez agora seja a hora de eu focar todo o meu aprendizado em lógica clássica para fazer uma boa base para um futuro mestrado de filosofia, onde precisarei do conteúdo desses capítulos que faltam.
Ainda tenho um tempo pra decidir, mas acho que farei isso.
Para finalizar, minha opinião sobre o livro é:
Com certeza o Mortari é um ótimo livro introdutório sobre Lógica. Ele me deu uma boa noção do que é Lógica e me deixou com muuuuitas dúvidas para tentar responder no futuro. Recomendo-o para todos que quiserem iniciar seus estudos em Lógica.
A teoria é perfeita e muito vasta. No entanto, senti que a maioria dos exercícios eram fáceis se comparados a ela (com exceção de alguns exercícios cabulosos), o que me deixava inseguro para prosseguir.
Uma sugestão que eu dou para a próxima edição do livro é acrescentar um índice remissivo.
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