Este texto é uma lista dos principais pensadores da Lógica e da Teoria de Conjuntos no ocidente. Nesta lista eu resumo as principais contribuições dos pensadores mais importantes dessas áreas em ordem cronológica.
Evidentemente, é possível que este texto contenha alguma informação errada, afinal, este é um texto de um estudante, e não um mestre.
No entanto, nada que escrevi até agora foge muito das fontes que estão no final do texto. Há inclusive frases retiradas diretamente das fontes. Além disso, atualizarei esse texto sempre que possível.
Principais lógicos e conjuntistas do ocidente
Aristóteles de Estagira (384 a.C. – 322 a.C.)
No ocidente, a Lógica, como disciplina intelectual, foi criada no século IV a.C. por Aristóteles.
A principal função da lógica criada por Aristóteles era analisar argumentos. Isto é, saber quando uma conclusão de fato decorre de uma ou mais premissas. Aristóteles chamou a sua criação de teoria dos silogismos.
Silogismos são tipos bem específicos de argumentos válidos, e há 24 deles. No entanto, Aristóteles acreditava erroneamente que todo argumento válido era um silogismo.
Depois de Aristóteles, achavam-se que não havia mais nada a ser descoberto na lógica.
Apesar de hoje a teoria dos silogismos ser uma teoria lógica simples, ela era tão grande por si só e era aplicável a tantas coisas que era até justo pensar isso.
Kant chegou a escrever no prefácio de um livro seu que a lógica foi uma disciplina pronta entregada por Aristóteles.
No entanto, essa afirmação do Kant se provou errada pois a partir do século 19 a lógica foi um dos campos que mais tiveram avanços.
Uma das diferenças entre a lógica de Aristóteles e a lógica moderna está no uso de linguagens artificiais. Falarei mais disso adiante.
Crísipo de Solos (280 a.C. – 208 a.C.)
Crísipo foi um dos principais filósofos estoicos.
Os estoicos desenvolveram uma teoria lógica tal como Aristóteles. Essa teoria foi a base do que hoje chamamos de lógica proposicional.
Na Grécia Antiga, no entanto, as teorias dos estoicos e do Aristóteles foram encaradas como rivais, embora na verdade elas se complementem.
Gottfried Leibniz (1646 – 1716)
Apesar de suas contribuições mais famosas serem na área da matemática, Leibniz fez um doutorado em filosofia, e não matemática (e terminou seu doutorado com 20 anos!).
No entanto, as contribuições de lógica matemática de Leibniz só foram publicadas em 1901, bem depois de sua morte. Isso porque lógica não era um bom tema de pesquisa quando Leibniz estava vivo. Quando seus escritos foram publicados, eles nem eram inéditos mais.
Acredito que uma dessas contribuições seja o Princípio da continuidade (mas posso estar falando merda!).
Aparentemente o Bertrand Russell era um especialista em Leibniz, e escreveu bastante sobre ele no livro:
História da Filosofia Ocidental – 3 volumes (ele fala sobre Leibniz no volume 3)
Recomendo bastante essa leitura caso você esteja interessado.
Bernard Bolzano (1781 – 1848)
Foi o pai da teoria de conjuntos e um padre católico.
Foi Bolzano quem introduziu a ideia de conjuntos na matemática.
Daqui pra frente a Lógica e a Teoria de Conjuntos vão andar juntas.
Augustus De Morgan (1806 – 1871)
Augustus De Morgan provou as Leis de De Morgan.
George Boole (1815 – 1864)
Em 1854 Boole publicou ‘Investigação sobre as leis do pensamento’, inaugurando uma “matematização” da lógica.
Boole (junto com De Morgan) foi quem tirou a lógica da inércia no ocidente, fazendo contribuições nessa área que estava parada desde Aristóteles e os gregos antigos (as contribuições de Leibniz não eram conhecidas na época de Boole).
Boole, assim como Aristóteles, também estava interessado em identificar as formas válidas dos argumentos, e para isso criou a álgebra booleana.
Eu não sei direito o que é uma álgebra booleana, mas me parece ser uma estrutura algébrica que se comporta igual ao cálculo proposicional clássico, que é uma lógica.
Na álgebra boolena é possível deduzir infinitas formas válidas de argumentos, sendo todas elas equivalentes a uma tautologia. Ou seja, enquanto Aristóteles “descobriu” 24 formas válidas de se argumentar, Boole “descobriu” infinitas.
Aparentemente, Boole também foi muito importante para a computação.
Richard Dedekind (1831 – 1916)
Gottlob Frege (1848 – 1925)
Frege é o fundador da lógica clássica (que é parte da lógica moderna) e foi o primeiro a tentar formalizar a noção de prova matemática.
Em 1879 Frege publicou o livro ‘Conceitografia’, obra que inaugura a lógica clássica.
Uma ideia poderosa de Frege foi introduzir a noção de variáveis naLógica.
Uma coisa que sei é que Frege construiu sua teoria a partir da ideia de conjunto, introduzida por Bernard Bolzano. Acho que a partir daqui fica impossível separar a Lógica da Teoria de Conjuntos.
Para formalizar a noção de prova matemática, Frege estudou as linguagens. E uma de suas contribuições foi separar a interpretação das expressões bem formadas de uma linguagem em sentido e referência. Nas palavras de Frege:
[…] A conexão regular entre o símbolo, seu sentido e a sua referência é tal que ao símbolo corresponde um sentido determinado, que por sua vez corresponde a uma referência determinada, enquanto à referência (a um objeto) não é só um símbolo que lhe corresponde. O mesmo sentido tem diferentes expressões em linguagens diferentes, até na mesma linguagem. […] Se usarmos as palavras de maneira usual, aquilo sobre o que queremos falar é a sua referência.
Eu acho que o sentido de uma expressão bem formada é uma proposição e a referência de uma expressão bem formada é seu valor verdade.
Depois de Frege, a lógica deixou de ser o estudo exclusivo de argumentos válidos e passou a ser o estudo das manipulações simbólicas de uma língua formal e das interpretações que damos as palavras formadas por essas manipulações. Com isso, tornou-se possível até formalizar o conhecimento de determinado assunto, e fazer inferências novas no processo.
Alfred North Whitehead (1861 – 1947)
David Hilbert (1862 – 1943)
Segundo o Augusto Fajardo:
David Hilbert reformulou os axiomas e postulados de Euclides,
introduzindo a ideia de conceitos primitivos. Enquanto Euclides tentou definir conceitos como ponto, curva e reta, Hilbert considerou esses e outros como conceitos primitivos, que dispensam definição. Os axiomas e postulados deixaram de ser considerados “evidentes em si mesmos”, e passaram a ser apenas afirmações que assumimos como verdadeiras. A grande inovação que Hilbert fez sobre as demonstrações matemáticas foi torná-las independentes de qualquer interpretação intuitiva do significado das expressões matemáticas. Sobre os conceitos primitivos, como ponto, reta e plano, Hilbert dizia que esses poderiam significar qualquer coisa, como mesas, cadeiras e canecas de cerveja. Seja qual for o significado que você atribuir a esses conceitos, esse não interfere na análise da validade de uma demonstração. É claro que a intuição é essencial para o processo de desenvolvimento da matemática, mas verificar se uma demonstração está correta não pode depender dela. Ou seja, é possível provar um teorema conhecendo apenas a sintaxe da lógica, e não a semântica. Sem a semântica, um teorema não tem valor algum. Mas verificar a prova de um teorema sem depender da semântica contribuiu com a credibilidade do resultado.
Bertrand Russell (1872 – 1970)
Russell foi outro que contribuiu bastante para a lógica, e é o meu lógico favorito (ele está top 3 da humanidade, ao lado de Dalsin e Marechal), mas ainda não cheguei a estudar muito suas contribuições.
Sei que em 1901, Russell mostrou ao mundo o seu Paradoxo de Russell, que destruiu a ideia que os matemáticos tinham de que qualquer propriedade define um conjunto. No paradoxo, Russell conseguiu encontrar uma propriedade que, caso defina um conjunto, gerará uma contradição.
Para contornar a situação (que nem mesmo o Russell gostou!), ele criou sua teoria dos tipos. A ideia dessa teoria é que os conjuntos possuem infinitos tipos, tipo 1, tipo 2 e etc. E conjuntos do tipo n não podem ser elementos de conjuntos de tipos menores que n. Com isso Russell contornou o problema da auto referência que está em seu paradoxo.
Creio que Russell tenha usado a sua teoria dos tipos para escrever o volume 2 do Principia Matemática.
Além disso, Russell também criou a teoria das descrições, que é uma forma de se estudar a existência.
Segundo ele, a existência só pode predicar descrições, e nunca pode ser aplicada a indivíduos. Isto significa que é incorreto dizer que ‘André existe’, sendo correto apenas dizer que ‘Existe x tal que x é André’.
Essa teoria das descrições foi a solução de Russell para resolver alguns problemas que aparecem quando se estuda o que significa existir.
Henry Sheffer (1882 – 1964)
em 1913 Sheffer provou que a álgebra booleana poderia ser “criada” usando uma única operação binária primitiva, chamada de Sheffer Stroke. Acho que a chamam de nand na computação.
Alfred Tarski (1901 – 1983)
Tarski foi um lógico inglês que introduziu, em 1931, a distinção entre linguagem-objeto e metalinguagem.
Um dos teoremas provados por ele foi o Teorema da indefinibilidade.
John von Neumann (1903 – 1957)
Alonzo Church (1903 – 1995)
Church provou que a lógica de primeira ordem é indecidivel em 1936. Com certeza há mais contribuições dele, mas as desconheço.
Em 1936 ele também demonstrou que a aritmética é indecidível.
Kurt Godel (1906 – 1978)
Em 1930, Godel provou que a lógica de primeira ordem é completa. Isso quer dizer que TODAS as fórmulas lógicas da lógica de primeira ordem verdadeiras em qualquer modelo podem ser demonstradas a partir de poucos axiomas e regras de inferência.
Em 1931, Godel provou seu famoso Teorema da Incompletude para a lógica de segunda ordem, que diz que qualquer lógica suficientemente poderosa para conter a aritmética ou é incompleta ou inconsistente.
Eu ainda não sei porque esse teorema é tão importante, já que tudo que vemos na graduação de matemática é demonstrável, então na prática a matemática que eu vejo é completa.
Em 1940, Godel provou que a Hipótese do Contínuo é consistente com o principal sistema axiomático da Teoria de Conjuntos.
Gerhard Gentzen (1909 – 1945)
Gentzen foi um lógico que introduziu, em 1933, a dedução natural. Isto é um sistema formal para a linguagem de primeira ordem que não usa axiomas lógicos, apenas regras de inferências (e mesmo assim ele é compativel com a semântica usual da lógica de primeira ordem).
Aparentemente, ele fez isso como uma tentativa de melhorar a forma com que Hilbert e Russell provavam as coisas. E suas ideias foram as que resistiram melhor ao tempo pois já chegaram até mim quando li os capítulos 14 e 15 do livro de lógica do Mortari (e eu ainda não li nada sobre as ideias de Hilbert e Russell em um livro-texto).
Em 1935, Gentzen introduziu os cálculos de sequentes. Mas ainda não sei o que isso significa.
Alan Turing (1912 – 1954)
Em 1935 Alan Turing resolveu o problema da decisão proposto por Hilbert em 1928. Além disso ele definiu um conjunto chamado Máquina de Turing, mas ainda estou longe de entender isso.
Newton da Costa (1929 – 2024)
Newton da Costa foi um lógico brasileiro muito renomado. A única coisa que sei sobre seu trabalho é que ele estudou lógicas onde a inconsistência não necessariamente leva a trivialidade.
Muito obrigado por chegar até aqui :]
Este texto está em constante atualização, pois o atualizo sempre que descubro algo sobre a história da lógica. Então caso tenha alguma sugestão para melhora-lo, comente!
Referências:
Introdução a Lógica – Mortari
Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno – Boyce
História da Filosofia Ocidental – Bertrand Russell
Logicomix