Olá! Eu faço bacharelado em matemática e atualmente terminei uma matéria da graduação chamada Teoria dos Grupos. Nesse post fiz um resumo (recheado de comentários meus) de tudo que vi na terceira (e última) parte do conteúdo.
Você pode conferir a parte 1 e a parte 2 desse resumo aqui:
Resumo do meu curso de Teoria dos Grupos – Parte 1: Teoria básica
O livro texto foi Elementos de Álgebra, do Arnaldo Garcia, e o professor seguiu o livro texto fielmente. A matéria cobriu os capítulos 5, 6 e 7 do livro. A cada aula o professor dava umas 3 páginas do livro.
Haviam 3 aulas por semana de 2 horas cada.
As descrições do que teve na aula estão com uma bolinha no começo e os meus comentários não.
Lista das aulas
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Aula 29: definição e exemplos de representações de um grupo num grupo de permutações
O professor disse que agora vamos estudar um grupo $G$ por meio do grupo de permutações de um conjunto qualquer. É como se cada elemento de $G$ agisse sobre o conjunto qualquer.
- Definição de representação de um grupo no grupo de permutações de um conjunto qualquer, que é um homomorfismo específico.
Depois disso o professor deu e explicou 7 exemplos de representações e a aula acabou. Colocarei os exemplos a seguir.
Aqui $P(G_0)$ denota o grupo de permutações do conjunto $G_0$.
- Exemplo 1:
\[ \begin{aligned} \rho: & \ G & \to & \ P(G_0) & \\ & \ g & \mapsto & \ \rho(g): & G_0 & \to G_0 & \\ & & & & a & \mapsto \rho(g) (a) = gag^{-1} \end{aligned} \]
Nesse exemplo eu internalizei que todo automorfismo é uma bijeção, mesmo que tiremos as estruturas do domínio e contradomínio.
- Exemplo 2: (aqui $H$ é um subgrupo qualquer de $G$)
\[ \begin{aligned} I: & \ G & \to & \ P(H_0) & \\ & \ g & \mapsto & \ I(g): & H_0 & \to H_0 & \\ & & & & h & \mapsto I(g) (h) = ghg^{-1} \end{aligned} \]
Esse exemplo é basicamente o exemplo anterior restrigindo a $H$.
- Exercício para casa: verificar que o exemplo 2 é uma representação. Para isso temos que verificar que $I$ é um homomorfismo e que $I(g)$ é uma bijeção.
- Exemplo 3:
\[ \begin{aligned} T: & \ G & \to & \ P(G_0) & \\ & \ g & \mapsto & \ T(g): & G_0 & \to G_0 & \\ & & & & x & \mapsto T(g) (x) = gx \end{aligned} \]
A prova de que o exemplo 3 é uma representação é o teorema de Cayley eu acho.
- Exemplo 4: (aqui $C$ denota o conjunto de todos os subgrupos de um grupo $G$)
\[ \begin{aligned} I: & \ G & \to & \ P(C) & \\ & \ g & \mapsto & \ I(g): & C & \to C & \\ & & & & H & \mapsto I(g) (H) = gHg^{-1} \end{aligned} \]
Exercício para casa: provar que a $I(g)$ do exemplo 4 é uma bijeção, que $I$ é um homomorfismo e concluir que $I$ é uma representação.
- Exemplo 5: (aqui $C$ denota o conjunto de todos os subgrupos de ordem $m$ de um grupo $G$)
\[ \begin{aligned} I: & \ G & \to & \ P(C) & \\ & \ g & \mapsto & \ I(g): & C & \to C & \\ & & & & H & \mapsto I(g) (H) = gHg^{-1} \end{aligned} \]
- Prova de que $I(g)$ do exemplo 5 é injetiva. A prova é estranha pois eu não sei direito como trabalhar com subgrupos tipo o $gHg^{-1}$.
- Exemplo 6: (aqui $C$ denota o conjunto das classes laterais de $H < G$)
\[ \begin{aligned} T: & \ G & \to & \ P(C) & \\ & \ g & \mapsto & \ T(g): & C & \to C & \\ & & & & aH & \mapsto T(g) (aH) = gaH \end{aligned} \]
- Prova completa de que o exemplo 6 é uma representação.
- Cálculo do núcleo de $T$.
- Exemplo 7: (aqui $C = \{aH / a \in G\}$, $K < G$ e $H < G$)
\[ \begin{aligned} T: & \ K & \to & \ P(C) & \\ & \ k & \mapsto & \ T(k): & C & \to C & \\ & & & & aH & \mapsto T(k) (aH) = kaH \end{aligned} \]
- Comentário de que a gente só vai estudar direito 2 tipos de representações, as conjugações ($I$) e as translações ($T$).
- Definição de órbita de um elemento $\mathcal{o}(x)$.
- Definição de estabilizador de um elemento $E(x)$.
- Exercício para casa: provar que $E(x) < G$.
- Definição de representação transitiva.
Representações generalizam várias coisas.
Aula 30: prova de que o tamanho da órbita de um elemento divide o tamanho do grupo; definição de classe de conjugação e centralizador de $x$; dedução da equação das classes de conjugação
- Revisão da aula passada.
- prova de que a seguinte função é uma bijeção:
\[ \begin{aligned} \Psi: & o(x) \to \text{\{classes laterais à esquerda E(x) em G\}} \\ & \rho(g)(x) \mapsto gE(x) \end{aligned} \]
Para provar isso ele provou que $\Psi$ é bem definida, injetiva e sobrejetora. A conclusão interessante desse teorema é que $|o(x)|$ divide a ordem de $G$. A prova é literalmente manipulação de símbolos. Me pergunto se o professor consegue ter alguma intuição do que está acontecendo enquanto prova o teorema.
- Definição de classe de conjugação do x e centralizador do x $Z(x)$.
- Dedução da equação das classes de conjugação.
- Prova de que se $|G| = p^n$ ($p$ primo) então $Z(G)$ (centro) tem pelo menos $p$ elementos.
Essa é a primeira aplicação dessa teoria de representações.
Esse teorema implica que $D_4$ tem pelo menos 2 elementos que comuta com todos.
- Prova de que se $|G| = p^2$ então $G$ é abeliano.
A prova usa uma proposição lá da P1.
Essa prova explica porque os únicos grupos de ordem 9 são o $\mathbb{Z}_9$ e o $\mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_3$. É porque eles são abelianos.
- Exercício para casa: classificar os grupos de ordem $p^2$.
Pelo teorema passado, os grupos de ordem $p^2$ tem de ser abelianos.
Até agora só usamos 1 representação na aula (as translações). Agora vamos usar a outra.
- Definição de normalizador de $H$.
- Exercício: verificar que $N_a(H)$ é o maior subgrupo no qual $H$ é normal.
- Exercício: calcular órbitas, estabilizadores e quais representações são transitivas.
- Enunciamento do 1ºteorema de Sylow.
- Prova de um lema.
A prova usa indução forte.
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Aula 31: demonstração do 1º teorema de Sylow e preparação pro segundo teorema
- Demonstração do 1º teorema de Sylow.
O 1º Teorema de Sylow é pra garantir a existência de subgrupos de grupos com ordem específica. É a melhor ferramenta que temos como recíproca do Teorema de Lagrange.
É impressionante como os números primos aparecem em contextos extremamente abstratos.
A demonstração é por indução forte.
Uma dica boa que o prof deu nessa demonstração é que quando a prova em álgebra é por indução, geralmente queremos usar o conjunto quociente, pois sua cardinalidade é menor então podemos usar a hipótese de indução nele, e temos o homomorfismo canônico para voltar para o grupo inicial.
- Colorários do 1º teorema de Sylow.
- Definição de p-subgrupo e p-subgrupo de Sylow.
- Prova de um lema: Sejam $G$ um grupo finito e $p$ um número primo. Sejam $S$ um p-subgrupo de Sylow e $G$ e $P$ um p-subgrupo qualquer de $G$. Então $P \cap N_g (S) = P \cap S$.
Aula 32
Faltei.
Aula 33: prova de vários teoremas e começo da classificação dos grupos simples
- Prova de que se $G$ é um grupo finito, $p$ um número primo, $S$ um p-subgrupo de Sylow, $H$ um subgrupo de $G$ contendo $N_G(S)$. Então: 1) $N_G(H) = H$ e 2) $(G : H) \cong 1$ mod $p$
- Prova de que se $|G| = p^m$, $H < G$, $|H| = p^r$, $r < m$ então: 1) Existe $K < G$, $|K| = p^{r+1}$, $H < K$ e 2) Todo subgrupo $L$ de $G$ contendo $H$ com $|L| = p^{r+1}$ é tal que $H \trianglelefteq L$.
A prova é por indução sobre $m$ eu acho.
- Prova de que se $G$ é um p-grupo finito, $H \trianglelefteq G$ e $H \neq \{ e \}$ então $H \cap Z(G) \neq \{ e \}$.
A prova usa uma representação lá.
- Explicação de que agora vamos atacar o seguinte problema: dado um grupo de ordem $n$, existe algum subgrupo normal dele que não seja trivial? Isto é, vamos classificar os grupos simples.
- O primeiro caso atacado foi quando $|G| = pq$.
- O segundo caso atacado foi quando $|G| = 56$.
- O terceiro caso atacado foi quando $|G| = 2^2 \cdot 7 \cdot 13$
Aula 34: continuação da classificação dos grupos simples
- Explicação de que há 2 métodos pra classificar os grupos simples: o método 1 é usar os teoremas de Sylow e o método 2 é usar a representação $\rho: G \to P(C)$, pois se essa função não for injetora então o núcleo dela é um subgrupo normal não trivial de $G$.
depois de fazer a teoria o método é fácil de se começar a usar, mas fazer a teoria é bem difícil (usa os teoremas de Sylow, pois ele é o único teorema que temos para caçar subgrupos).
Aula 35: prova de que se $|G| = 60$ e $G$ é simples então $G \cong A_5$.
- Prova de que se $|G| = 60$ e $G$ é simples então $G \cong A_5$.
A prova é longa.
- Exercício para casa: provar que $|Aut(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2)| = 168$.
Esse grupo tem lá sua importância para os grupos simples.
Aula 36: classificação dos grupos com ordem menor que 15 e caracterização do $A_4$ e $A_5$
- Classificação dos grupos com ordem menor que 15 e outros.
É coisa pra caralho.
Acho que o principal objetivo desse curso é classificar os grupos.
- Prova de que se $|G| = 12$ então as seguintes afirmações são equivalentes: i) $G \cong A_4$, ii) $G$ não possui subgrupo de ordem $6$, iii) $G$ não possui elementos de ordem $6$ e iv) $G$ possui exatamente $4$ subgrupos de ordem $3$.
Aula 37: continuação do estudo do $A_5$
- Prova de que $A_5$ tem 15 subgrupos de ordem 2, 10 de ordem 3, 5 de ordem 4, 6 de ordem 5, 0 de ordem 6, 5 de ordem 12 e nenhum de ordem 15, 20 e 30.
- Começo do capítulo de grupos solúveis.
Aula 38: aula de dúvidas
- Aula de dúvidas.
Aula 39: aula de dúvidas
- Aula de dúvidas.
Aula 40: P3
Diário de Estudos
Para aqueles que estão se perguntando, eu tive que fazer a prova final e tirei 8,5 nela, conseguindo passar no curso. Eita curso difícil.
Meu professor desse curso foi um peruano que realmente sabe dar um curso avançado de matemática. Ele literalmente refazia página por página do livro texto nas aulas, sempre explicando as passagens em que o livro dizia “Claramente…” ou “É fácil ver que…”.
Eu me arrependi de fazer esse resumo porque é cansativo ter que escrever aqui tudo que vi na aula. Farei apenas das matérias desse semestre para ter uma ideia da quantidade absurda de conteúdo que vemos em cada curso. Mas no futuro, usarei o tempo que gasto escrevendo aqui para outros posts. Não resumirei mais os cursos. Pelo menos esse resumo foi bom para eu ter uma noção precisa da quantidade de conteúdo que vomitam em cima de mim em cada curso da faculdade, e por isso é impossível aprender tudo.
Esse fato me entristece num nível absurdo, mas acho que o aceitei. Eu desisto. A partir de agora irei estudar apenas pra passar até me formar, e depois de formado eu re-estudo essas coisas sem pressa. Com estudar pra passar eu me refiro a: decorar enunciados de teoremas e decorar as soluções dos exercícios que podem cair na prova.
Semestre que vem será o primeiro que irei com essa mentalidade. Me deseje sorte!
Muito obrigado por ter chegado até aqui ^^
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