Resumo do meu curso de Teoria dos Grupos – Parte 1: Teoria básica

Olá! Eu faço bacharelado em matemática e atualmente terminei uma matéria da graduação chamada Teoria dos Grupos. Nesse post fiz um resumo (recheado de comentários meus) de tudo que vi na primeira parte do conteúdo.

Você pode conferir a parte 2 e a parte 3 desse resumo aqui:

Resumo do meu curso de Teoria de Grupos – Parte 2: Produto semi-direto e classificação dos grupos de ordem menor que 11

Resumo do meu curso Teoria dos Grupos – Parte 3: representações, teoremas de Sylow, classificação dos grupos simples e classificação dos grupos de ordem menor que 15

O livro texto foi Elementos de Álgebra, do Arnaldo Garcia, e o professor seguiu o livro texto fielmente. A matéria cobriu os capítulos 5, 6 e 7 do livro. A cada aula o professor dava umas 3 páginas do livro.

Haviam 3 aulas por semana de 2 horas cada.

As descrições do que teve na aula estão com uma bolinha no começo e os meus comentários não.

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Aula 1: definição e exemplos de grupos

• Definição de grupo. A hierarquia é: grupo, monoide, semigrupo, magma.

Brincando com a associatividade quando temos 4 elementos eu percebi coisas interessantes, mas que não sei explicar ainda. Além disso percebi que devemos provar por indução que o “produto” de n elementos é bem definido usando a associatividade.

• Prova de que o neutro é único (a prova é fácil, mas formalizar ela é dificil. Acho que tem que usar a eliminação do para todo).

• Explicação de que os corpos só são grupos com a multiplicação se você tirar o zero, pq o zero não tem inverso multiplicativo.

• Prova de que $\mathbb{Z}_n$ é grupo com a soma.

• Prova de que $(\mathbb{Z}_n)^*$ é grupo com a multiplicação, onde $(\mathbb{Z}_n)^*$ é o conjunto dos elementos invertíveis de $\mathbb{Z}_n$.

• Caracterização do grupo $((\mathbb{Z}_n)^*, \cdot)$ usando o Teorema de Bezout.

Essa caracterização te da uma forma fácil de saber se um elemento de $\mathbb{Z}_n$ é invertível ou não. Ela me ajudaria muito nas aulas de Teoria de Galois.

Uma coisa importante é que pra um anel ser um grupo com o poduto, precisamos pegar apenas os elementos invertíveis do anel, pois ai os inversos da operação existiriam. Isso pode causar muita confusão na hora de trabalhar com grupos. Uma delas é que temos que tirar o neutro da soma logo de cara, pois ele não possui inverso multiplicativo.

Por causa dessa caracterização eu passei 3 FUCKING SEMANAS tentando provar o Teorema de Bezout. Graças a Deus consegui, mas dei uma roubada em alguma dessas semanas, pois olhei como provava que $(\mathbb{Z}, +, \dot)$ é domínio principal, e esse teorema é praticamente a mesma coisa que o teorema de Bezout, só que disfarçado. Mas não deixarei isso tirar meu mérito, pois o sentimento de felicidade me diz que foi graças a muito esforço que eu consegui prova-lo. Enquanto escevo isso minha cabeça ainda está organizando esses conhecimentos sobre mdc e divisibilidade.

Uma consequência bonita do teorema de Bezout é que todo inteiro é uma combinação linear de um primo com um inteiro que não é múltiplo do primo (ou dois inteiros primos entre si). Isso significa que $\mathbb{Z} = I(53, 30)$.

• Definição de grupo de permutação, e uma prova de que dois elementos do $S_3$ geram o grupo inteiro.

• Prova de que os grupos de permutações $S_n$ só são abelianos se $n < 3$.

• Definição de grupo de simetrias de um triângulo $S_{\triangle}$ equilátero e grupo de simetrias de um quadrado $S_{\square}$. $S_{\triangle} = \{ f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 / f(\triangle) = \triangle \}$ Nessa definição é imediato que o grupo de simetrias é associativo, pois a composição de funções é associativa. (essa foi minha primeira dúvida da matéria).

Um erro que eu demorei pra entender é como funciona as composições de movimentos do $S_{\triangle}$. O que importa é só o começo e o final. Caso o $P_2$ vá no $P_3$ e depois na posição em que inicialmente estava o $P_1$, você vai dizer que a transformação total leva o $P_2$ no $P_1$, mesmo que quem estivesse na posição do $P_1$ não fosse mais o $P_1$.

• Estudo com detalhes desses grupos de simetrias, citação do isomorfismo entre o $S_3$ e o $S_{\triangle}$ e de que o $S_{\square}$ “é” um subgrupo do $S_4$.

• Definição de produto direto de dois grupos.

Aula 2: definição e exemplos de subgrupos

• Definição de subgrupo, que é um subconjunto que é grupo com a mesma operação do grupo. E fixação de notação de subgrupo: $H < G$.

Como provamos que o neutro e os inversos são únicos, necessariamente o neutro e os inversos do subgupo tem que ser os mesmos do grupo.

• Prova de que para um conjunto ser subgrupo, basta que ele seja fechado para a operação e que ele tenha o inverso de todos os seus elementos. Com isso precisamos verificar menos coisas para saber se um conjunto é subgrupo ou não.

• Alguns exemplos de subrupos. Dois exemplos são: $(n \mathbb{Z}, +)$ e o $D_{\square}$, que “é” um subgrupo do $S_4$.

É bem estranho o fato das raízes complexas da unidade formarem um subgrupo de $(\mathbb{C} – \{0\}, \cdot)$.

O $(\{e\}, *)$ sempre é subgrupo, independente de quem seja o grupo.

• Comentário de que a interseção de uma família de subgrupos de um grupo $G$ também é um subgrupo de $G$.

• O professor contou quantos subgrupos o $S_3$ e o $S_4$ tinham de um jeito estranho, meio que contando os subgrupos gerados por cada elemento.

• Comentário de que a circuferência do plano complexo é um grupo.

• Definição de centro de um grupo e prova de que o centro é um subgrupo. A prova é criativa.

• Definição de grupo abeliano em termos do seu centro.

• Prova de que TODOS os subgrupos de $(\mathbb{Z}, +)$ são da forma $(n\mathbb{Z}, +)$. A prova usa o PBO e a divisão euclidiana. É uma prova muito bonita.

Enquanto meu professor provava isso eu percebi que $(\{-2, -1, 0, 1, 2\}, +)$ não é subgrupo de $(\mathbb{Z}, +)$ pois não é fechado pra soma. Isso também implica que $(\mathbb{Z}, +)$ não possui nenhum subgrupo finito além do $(\{0\}, +)$.

• Definição e prova de que o conjunto gerado por elementos de um grupo é um subgrupo. A prova é ridícula porque é praticamente por definição. Denotamos o conjunto gerado por $\alpha$ por $\langle \alpha \rangle$.

O inverso do $\alpha$ pertence a $\langle \alpha \rangle$ por definição.

• Definição de grupo cíclico.

• Prova de que se um grupo é cíclico então ele é abeliano.

• Definição do subgrupo dos comutadores $G’$.

É importante não confundir o subgrupo dos comutadores com o conjunto $\{xyx^{-1}y^{-1} / x,y \in G \}$. Coisa que eu fiz bastante.

Tão importante quanto isso é perceber que dizer que $g \in G’$ não é o mesmo que dizer que $g = (xyx^{-1}y^{-1})^t$. A segunda só ocorre se $g \in \langle a \rangle$, onde $a \in G’$. Eu cometi esse erro estudando para a P2.

Note que o subgrupo dos comutadores não é um subgrupo cíclico.

• Enunciamento formal de que $\langle S \rangle$ é o menor subgrupo que contém $S$. Isso foi deixado como exercício.

Eu tive que pedir ajuda ao professor para fazer esse exercício, e contar isso me deixa um pouco constrangido.

Aula 3: ordens, classes laterais e Teorema de Lagrange

• Definição de ordem de um grupo, que é a cardinalidade do grupo e é denotado por $|G|$, e definição de ordem de um elemento de um grupo, que é a cardinalidade do subconjunto gerado pelo elemento.

O único elemento que tem ordem 1 é o neutro.

• Prova de que um subgrupo gerado por um elemento é finito se e só se alguma potência desse elemento é o neutro. E mais, a menor dessas potências é exatamente a ordem do subgrupo gerado e as outras são seus múltiplos.

Lembro de ter boiado nessa demonstração, mas consegui seguir passo a passo dela em casa. A prova usa propriedades de “exponenciação”, PBO, divisão euclidiana, prova por absurdo e algumas passagens criativas.

Esse teorema é importantíssimo para provar propriedades de ordem de elementos. O fato da ordem ser a menor potência que gera o neutro é muito forte.

Provando propriedades de ordem eu finalmente percebi que a lei do corte dos domínios não usa o inverso multiplicativo pra nada (até porque nem todo elemento de um dominio tem inverso multiplicativo). Incrível como passei em Álgebra 1, 2 e Teoria de Galois sem saber isso.

• Definição do subgrupo torção $T(G)$, que só é subgrupo quando o grupo é abeliano.

• Definição da relação de equivalência que gera classes laterais. A verificação de que isso realmente é uma relação de equivalência ficou para casa. Nela usamos o tempo todo que $H$ é subgrupo.

• A notação para classe lateral de um $x \in G$ é $xH$.

Quocientar é sempre particionar.

A classe lateral de $x$ á esquerda é simplesmente o $x$ multiplicado (pela direita) por todos os elementos de $H$. Caso o $H$ seja finito você pode fazer todas essas multiplicações para calcular a classe do $x$ (caso H seja infinito também).

Disto segue que a classe lateral do $e$ é o próprio $H$.

Disto também segue que a classe lateral de um elemento nunca será só o elemento, a menos que $H$ seja $\{e\}$.

Para saber se a classe lateral é a esquerda ou a direita você não deve olhar para o $h$, e sim para o $x$ (ou $y$).

O ‘$\exists$’ na definição de classe lateral mais atrapalha do que ajuda, tanto que o professor suprimia ele nas contas.

• Definição de índice do conjunto das classes laterais, que é simplesmente a cardinalidade do conjunto. Denotamos isso por $(G : H)$.

• Prova de que o número de classes à esquerda é o mesmo que o número de classes à direita. Para isso temos que definir uma função e mostrar que ela é bem definida, sobrejetora e injetora.

• Prova de que $H$ possui a mesma cardinalidade que todas as classes laterais. Para provar isso basta definir uma função e mostrar que ela é bijetora.

Uma forma fácil de ver isso é que pra cada $h \in H$, vai existir um $xh \in xH$, e vice-versa.

• Prova do teorema de Lagrange. O professor disse que esse é um dos teoremas mais importantes do curso. Infelizmente ele provou esse teorema com um desenho. Isto é, sem rigor nenhum. Pelo menos facilitou o entendimento.

A prova do livro também não é boa, mas é melhor. Uma prova boa seria definir uma bijeção entre G e um conjunto que tem $(G : H)|H|$ elementos, como eles sempre fazem para provar que dois conjuntos tem a mesma cadinalidade.

• Prova de que a ordem de um elemento de um grupo finito sempre divide a ordem do grupo. Isso é literalmente um caso particular do Teorema de Lagrange.

Se juntarmos esse fato com o fato de um elemento “elevado” a múltiplos de sua ordem dar a identidade (provado aqui) , temos que um elemento elevado a ordem do grupo também vai dar a identidade.

• Prova do Pequeno Teorema de Fermat. Esse é um colorário da proposição acima que é um colorário do teorema de Lagrange.

Esse teorema diz que se um número inteiro não é múltiplo de um primo $p$, então esse inteiro elevado a $p-1$ deixa resto $1$ quando dividido por $p$. Por exemplo, $9^{10}$ deixa resto $1$ quando dividido por $11$. De fato, $9^{10} = 3.486.784.401 = 11 \cdot 316.980.400 + 1$.

Acho que usamos esse teorema mais para encontrar múltiplos grandes de números primos.

A prova desse teorema fica bem fácil e curta quando usamos tudo que já provamos. Chega a parecer roubo. Algum dia provarei esse teorema sem usar esses teoremas fortes, como Fermat deve ter feito. Pelo que vi no chatgpt uma forma de fazer isso é usando combinações e permutações.

Como não apendi direito Álgebra 1 e Álgebra 2, estou usando esse curso pra entender o $Z_n$, e não os grupos de permutações.

Provando propriedades elementares de congruência (e de limites de sequência quando estava estudando análise nesse mesmo dia) eu percebi que provar o óbvio na matemática é estranho.

• Prova de que se $G$ é um grupo de ordem prima então ele é cíclico.

Note que a volta desse teorema não é verdade, pois $(Z_4,+)$ é cíclico, já que $Z_4 = \langle \bar{1} \rangle$ mas $(Z_4,+)$ não tem ordem prima. Sua ordem é 4. 

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Aula 4: propriedade de ordens e classes laterais

• Prova de que se dois elementos de ordem finita possuem ordens primas entre si então a ordem do produto dos elementos é igual ao produto das ordens.

Para provar esse teorema você tem que usar o teorema de Lagrange de uma forma criativa, que infelizmente eu só enxerguei depois de ver a resposta.

• Prova de que se dois elementos possuem ordem finita, então existe um terceiro elemento cujo a ordem é o mmc das ordens dos elementos anteriores.

Nesse teorema, usamos um lema que diz que $o(a) = mn \imp o(a^n) = m$. Eu tentei provar esse lema durante 2 dias e não consegui, ai tive que apelar pro chatgpt. Pelo menos consegui metade da prova. Se fosse uma questão que valesse 2 pontos eu tiraria 1 (ou 1,5 dependendo do professor).

Além do lema difícil, esse teorema é tão disgramado que até pra copiar a prova eu demorei horas. E o professor provou esse teorema só pra usar como lema para o próximo teorema:

• Prova de que a maior ordem de um elemento é divisível pela ordem de todos os elementos do grupo.

Engraçado que nessas proposições de ordem não usamos classes laterais pra nada, então elas poderiam estar na seção anterior.

Eu achava que já tinhamos bons resultados sobre ordem pra conseguir usar no $Z_n$, mas percebi que não.

• Prova de se $G$ é grupo e $K < H < G$ então $(G : K) = (G: H) (H: K)$.

Se $G$ é finito isso decorre do teorema de Lagrange. Se $G$ é infinito, a prova tem que usar sistemas de representantes. O livro deixa esse caso como exercício. Meu professor até fez na aula, mas não entendi nada e eu esqueci de tirar foto.

Pensando sobre esse teorema, eu percebi uma falha da minha intuição. Pra mim o índice de G quocentado por qualquer subgrupo (pela relação de classes laterais) sempre teria que dar a ordem de G, pois cada classe lateral é formada pelos produtos de um elemento de G pelos elementos do subgrupo. Logo, para cada elemento de G haveria uma classe lateral, independentemente de quantos elementos o subgrupo tem. Mas se fosse assim esse teorema acima seria um absurdo. Acho que não é assim porque não estou levando em consideração as interseções que as classes laterais podem ter. Se existir dois elementos diferentes de G tal que seus produtos com os elemento de H dão a mesma coisa, então o índice seria a ordem de G menos 1, pois as classes laterais desses dois elementos seriam as mesmas.

• Observação de que se G é abeliano então as classes laterais à direita e à esquerda de qualquer elemento de G são iguais.

Depois dessa aula eu percebi que $HK$ sempre será um subgrupo de $G$ ($H, K \subset G$) se $G$ for abeliano, mas isso não é verdade para grupos não abelianos. Quando pedi um exemplo na aula 5 de quando isso não acontece para o professor ele meu dois subgrupos do $D_{\square}$.

• Investigação de quando a operação de $G$ induz uma operação bem definida no conjunto de classes laterais à esquerda de $H$ em $G$.

A vantagem das classes de equivalencia é poder operar seus elementos e obter resultados sobre as classes.

Aula 5: subgrupos normais e produto de subgrupos

• O professor fez alguns exercícios anteriores pedidos. Um deles foi mostrar que existe um produto de subgrupos do $D_{\square}$ que não é subgrupo. O outro foi explicar que para calcular o centro de um grupo finito você realmente tem que operar elemento a elemento e ver quais comutam. Caso o grupo seja $S_{\triangle}$ ou o $D_{\square}$ você pode tentar pensar graficamente.

• Prova de que $gHg^{-1} \subset H \imp H \subset gHg^{-1}$ quando $H$ é normal.

Usa-se muita criatividade para provar isso.

• Prova de que o centro de um grupo é um subgrupo normal sempre.

Tem que ter criatividade pra provar isso.

• Prova de que o subgrupo dos comutadores de todo grupo é um subgrupo normal.

Tem que sair enfiando $gg^{-1}$ onde dá para provar isso.

• Prova de que se $H < G$ e $(G : H) = 2$ então $H \trianglelefteq G$.

Durante a aula eu quase percebi que as classes laterais de $2\mathbb{Z}$ em $(\mathbb{Z}, +)$ são só duas: os pares e os ímpares. Isso já mostra que o índice de um grupo não necessariamente (e na verdade quase nunca) será a cardinalidade do grupo. (volte na aula 4 pra ver que eu tinha dúvida nisso)

• Exercício para casa: provar que se $G$ é um grupo e $H$ um subgrupo normal então o conjunto de classes laterais com a operação induzida é grupo.

• Prova de que se $G/Z(G)$ é cíclico então $Z(G) = G$. Em particular, o índice de $G/Z(G)$ nunca pode ser primo.

Quanto mais eu estudo pra essa matéria mais percebo que a matemática é sobre achar o caminho certo de uma argumentação. Há praticamente infinitas escolhas para serem feitas em qualquer parte de uma prova, mas poucas te levarão a tese. A lógica até ajuda a saber o caminho mais provável, mas muitas vezes não seguimos o caminho mais provável. Digo isso pois ao tentar provar que se $G/Z(G)$ é cíclico então $Z(G) = G$, eu tentei uns 4 caminhos diferentes até pensar no que me levaria a tese, mas quando pensei nele eu sabia que tinha conseguido antes mesmo de olhar o livro. Mesmo assim, quando fui tentar provar isso de novo alguns meses depois não consegui ;-; (mas entendi melhor o que está acontecendo).

• Prova de que $HK < G \sse \langle H \cup K \rangle = HK$. 

Essa prova sai quase que de imediato.

• Prova de que $HK < G \sse HK = KH$

A prova disso poderia ser dada bem antes, pois não usa nada de classes laterais ou grupo quociente.

Me pergunto porque o conjunto $HK$ é tão importante (já que estudamos bastante ele).

Aula 6: estudo do $|HK|$

• Perguntei para o professor se há alguma fórmula geral para saber a ordem de um resultado (“produto”) e aparentemente não há.

• Prova de que $H \trianglelefteq G$ ou $K \trianglelefteq G$ implica em $HK < G$.

A prova usa resultados passados.

• Prova de que $H \trianglelefteq G$ e $K \trianglelefteq G$ implica em $HK \trianglelefteq G$.

• Prova de que $H < G$, $K < G$ e $G$ é finito implica em $|HK| = \frac{|H||K|}{|H \cap K}$.

Essa prova chega a ser ridícula de tão difícil. Uma das coisas que usamos nela é que $x_1 \neq x_2 \imp f^{-1}(x_1) \cap f^{-1}(x_2) = \emptyset$, e eu tive que pensar muito durante a aula para concordar com essa implicação. Isso acontece pois se a interseção não fosse vazia, então teria um elemento do domínio de f com duas imagens.

Além dessa implicação também usamos que o domínio de uma função é igual a união de todas as imagens inversas dos elementos do contradomínio. Só de eu ter aprendido essas coisas sobre imagem inversa já valeu o curso todo.

• Prova de que se $H < G$, $K < G$ e $HK < G$ então $(HK : K) = (H : H \cap K)$.

Lembro que fui completamente derrotado quando o professor estava provando esse teorema. No caso em $G$ é finito, basta usar o teorema de Lagrange e o teorema acima que dá uma fórmula para $|HK|$. Mas no caso em que $G$ é infinito temos que usar sistemas de representantes, o que é muito difícil.

Obs: Até essa parte do conteúdo eu consegui ler todas as páginas, fazer todos os exercícios e re-provar todos os teoremas do livro texto. No entanto, vi que seria insustentável continuar fazendo isso e passar na curso ao mesmo tempo. Por isso parei aqui de fazer o estudo minuncioso de Teoria de Grupos. A partir daqui o nível do resumo provavelmente cairá muito.

• Começo da seção 5: homomorfismo de grupos.

Aula 7: muitas propriedades de homomorfismo

Nessa aula toda $f$ denota um homomorfismo de $G_1$ em $G_2$.

• Resolução da 4 da lista. Para isso o professor usou que se H é um subgrupo de ordem prima então ele é cíclico e um resultado que eu já provei.

Preciso internalizar essa implicação de que primo implica em único gerador.

• Verificação de que $f(x) = gxg^-1$ onde $g \in G$ é um homomorfismo bijetor.

• Exemplo/exercício de que $f: Z_2 \times Z_2 \rightarrow Z_2$ é sempre homomorfismo se $f((\bar{0}, \bar{0})) = \bar{0}$.

Basta verificar todos os exemplos possíveis já que \mathbb{Z}_2 é finito (e bem pequeno).

• Prova de que $f(e_{G_1}) = e_{G_2}$

• Exercício para casa: mostrar que $f(x^{-1}) = f(x)^{-1}$

• Prova de que $ker f$ é um subgrupo.

• Prova de que $f^{-1}(H) <G_1 \forall H < G_2$

Se $H = \{e\}$ obtemos o resultado anterior.

• Prova de que $f(H) < G_2 \forall H < G_1$.

• Prova de que $ker f$ é um subgrupo normal.

A prova é simples .-.

• Exercício para casa: verificar se $Im (f) \trianglelefteq G_2$

O prof não falou se é ou não.

• Afirmação de que $f(f^{-1}(H))\subset H$.

Eu fiquei pensando por uns 30 minutos da aula pra entender essa identidade. A igualdade só ocorre se $f$ for sobrejetora, pois caso você pegue um H que possui um elemento que não é imagem de ninguém, na hora de “voltar” pro H esse elemento fica de fora.

• Prova de que $f(f^{-1}(H)) = H \cap Imf$.

• Prova de que $f^{-1}(f(H)) = H.kerf$ (o $H.kerf$ é o “produto” de grupos, que já foi definido anteriormente).

• Exercício para casa: $f$ é injetiva $sse$ $kerf = \{e\}$.

• Prova de que se $o(x)$ é finita então $o(f(x)) | o(x)$.

• Exercício para casa: se $f$ é injetiva então $o(f(x)) = o(x)$.

• Exercício para casa: a composição de homomorfismos é homomorfismo.

• Definição de isomorfismo.

• Prova de que $f$ é isomorfismo $sse$ $f$ é bijetiva.

• Definição do isomorfismo entre $S_{\triangle}$ e $S_3$.

Tem que demonstrar que $f(R_{120}R_1) = f(R_{120}) f(R_1)$ e que $f(R_1 R_{120}) = f(R_1)f(R_{120})$.

• Definição do homomorfismo entre o $D_{\square}$ e o $D_4 < S_4$.

• Enunciamento e prova de parte do teorema dos isomorfismos.

• Explicação de que a gente só se preocupa em provar que uma função é bem definida se estamos trabalhando com classes de equivalências.

• Prova de que $\phi: G/kerf \rightarrow Im(G)$ é bem definida, homomorfismo e bijetiva.

Para provar que ela é injetiva temos que usar um resultado provado mais cedo nessa aula.

Aqui notei que o professor também usa a palavra ‘produto’ para se referir a operação do grupo.

• Uso de que $kerf \subset H \imp f^{-1}(f(H)) = H$ e $ H \subset Imf \imp f(f^{-1}(H)) = H$ para provar a 2ª parte do teorema dos isomorfismos.

Tem que definir conjuntos e funções pra caraca.

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Aula 8: isomorfismos

• Continuação da prova do teorema de isomorfismos.

• Prova de que se $H \trianglelefteq G_1$ então $\Phi(H) \trianglelefteq Im(G_1)$

Usa muitas definições.

Essa $\Phi$ é uma função estranha lá.

• Prova de que se $H \trianglelefteq G_2$ então $\Phi^{-1}(H) \trianglelefteq G_1$

Nessa aula eu percebi que colorários podem ser generalizações dos teoremas de que são colorários.

• Prova de que $H/H \cap Ker(f) \Rightarrow f(H)$ onde $hH \cap Ker(f) \longmapsto f(h)$ é isomorfismo.

Acho que usamos projeção para isso.

• Associação de subgrupos $K$ de $G$ que contém subgrupos $H$ com o grupo $K/H$. Resumidamente, $H < K < G \sse K/H$ onde $K/H < G/H$.

Foi a coisa mais difícil que o prof deu até agora.

• Prova de que $KH/H \simeq K/H \cap K$.

Usa projeção e o teorema dos isomorfismos.

• Prova de que se $H \trianglelefteq G$ então $K \cap H \trianglelefteq G$

O livro não faz mas a prova é fácil. Mas é criativa então tem que pensar.

Nessa aula a gente usou projeção muitas vezes.

Além disso, os 4 isomorfismos que ele provou foi usando que $G/Ker(f) \simeq Im(f)$. Ele só ficou mostrando que o $ker$ de algum homomorfismo era quem ele queria e que o homomorfismo era sobrejetor.

• Prova de que $\frac{\frac{G}{K}}{\frac{H}{K}} \simeq \frac{G}{H}$ onde $K < H < G$.

• Prova de que $\frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}} \simeq U_n$ seguindo o protocolo padrão.

• Definição de automorfismo.

• Definição do grupo de todos os automorfismos de um grupo, que é denotado por $Aut(G)$.

• Explicação de porque o grupo de automorfismos é um grupo com a composição.

• Definição de $I(G)$, que é o conjunto de todos os automorfismos internos de $G$.

Pra cada $g \in G$ existe um $I_g \in I(G)$.

• Prova de que $I(G) \trianglelefteq Aut(G)$.

Aula 9: automorfismos e algorítmo para encontrar todos os homomorfismos de um grupo em outro

• Citação de que $(I(G), \circ) \trianglelefteq (Aut(G), \circ)$.

• Prova de que se $G$ é abeliano então $I(G) = \{ Id \}$

A prova é besta mas é bem interessante notar que se o grupo for abeliano então todos os seus automorfismos internos são a identidade. Isso quer dizer que todos os automorfismos internos do $\mathbb{Z}_2$ são a identidade (eu verifiquei). Isso acontece pois o automorfismo interno de um elemento que comuta com todos é a identidade.

• Citação de que $\mathbb{Z}$ é um grupo cíclico, pois $\mathbb{Z} = \langle 1 \rangle$.

• Prova de que $\mathbb{Z}$ possui um automorfismo que não é automofismo interno.

Pra provar isso o prof achou todos os automorfismos de $\mathbb{Z}$ e encontrou a função $f(x) = -x$. Daí ele assumiu por absurdo que ela era um automorfismo interno e chegou num absurdo (acho que o absurdo era que $x = -x \forall x \in \mathbb{Z}$).

• Prova de que se $G$ é abeliano e $\exists g \in G$ tal que $o(g) \geq 3$ então $I(G) \subsetneq Aut(G)$.

Acho que isso é a generalização do exemplo acima com o $\mathbb{Z}$ e a prova é praticamente a mesma.

• Prova de que $H \triangleleft G \sse I_g(H) \subset H \forall g \in G$.

Isso é meio óbvio pois o automorfismo interno manda um elemento justamente pra condição que faz um subgrupo ser normal.

• Definição de subgrupo estável por todos os automorfismos internos de $G$.

• Definição de subgrupo característico de $G$.

• Exercício para casa: se $H$ é o único subgrupo de ordem $n$ então $H \triangleleft G$.

• Prova de que $K \triangleleft ^C H \triangleleft G \imp K \triangleleft G$.

Usa função restrição, que $I_g(H) = H$ quando $H \triangleleft G$ (consegui enxergar isso enquanto escrevo isso) e que $I_g \subset Aut(G)$.

• Exercício para casa: Se $G = S_{\square}$, $K = \langle R_1 \rangle$, $H = \langle R_1, R_{\pi} \rangle$ então $K \triangleleft H \triangleleft S_{\square}$ e $K \ntriangleleft S_{\square}$.

• Exercício para casa: provar que $G/Z(G) \cong I(G)$.

Para fazer esse exercício seguimos o protocolo ensinado, de definir um homomorfismo ente $G$ e $I(G)$ (ele é natural), depois mostrar que esse homomorfismo é sobrejetor e depois mostrar que o núcleo desse homomorfismo sobrejetor é $Z(G)$. Daí o isomorfismo segue do Teorema dos isomorfismos.

Uma forma rápida de saber se um homomorfismo é injetivo é ver se o núcleo dele ta contido no $\{ e \}$.

Isomorfismos preservam ciclicidade.

• Comentário importantissimo de que $\{ \text{homomorfismos de G em G’} \} = \bigcup _{H \triangleleft G} \{ \text{homomorfismos de G em G’ onde Ker = H} \}$

Aqui começamos a atacar o problema de achar todos os homomorfismos de um grupo em outro. O ponto chave é que pra encontrar todos os homomorfismos de um grupo A para um outro B, basta encontrar todos os homomorfismos injetivos de todos os grupos quocientes de A para B. Por incrível que pareça, isso é mais fácil porque a injetividade faz a ordem das imagens terem que ser a mesma ordem das pré imagens, e isso diminui muito as possibilidades. O chato é ter que saber quais são os subgrupos normais de A.

• Exercício para casa: provar que $f: \Phi \longmapsto \Phi \circ \phi _H$ é uma função bijetora (pra garantir que a teoria ta certa).

• Dedução de todos os homomorfismos de $S_3$ em $S_3$.

São 10 homomorfismos que existem. Para encontra-los o prof usou a teoria, um isomorfismo lá e que $o(f(x))|o(x)$.

• Exercício para casa: determinar os homomorfismos de $S_3$ em $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$.

Aula 10: estudo dos grupos cíclicos

• Prova de que $n\mathbb{Z} \subset m\mathbb{Z} \sse m | n$ e $|m\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}| = \frac{n}{m}$.

• Prova usando o resultado acima de que $6\mathbb{Z} / 18\mathbb{Z} = \{18\mathbb{Z}, 6 + 18\mathbb{Z}, 12 + 18\mathbb{Z} \}$.

• “Prova” com exemplos de que todo subgrupo de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ são da forma $\{m + n\mathbb{Z} / m|n \}$.

Uma coisa que eu fiz muito foi confundir o $\mathbb{Z}_n$ com o $n\mathbb{Z}$ sempre que eu ia fazer contas de fato.

• Prova de que se $G = \langle a \rangle$ e $|G| = n$ então G é isomorfo a $(\mathbb{Z}_n, +)$.

• Prova de que se $G = \langle a \rangle$ e $|G| = \infty$ então G é isomorfo a $(\mathbb{Z}, +)$. Além disso, $a^n$ gera $G$ se e só se $n = \pm 1$.

Para provar esses resultados definimos funções bastante naturais, usamos o teorema dos isomorfismos e divisão euclidiana.

O estudo dos grupos cíclicos meio que acabou aqui, pois provamos que todo grupo cíclico infinito é isomorfo a $(\mathbb{Z}, +)$ e todo grupo cíclico de ordem $n$ é isomorfo a $(\mathbb{Z}_n, \bar{+})$.

Um homomorfismo de um grupo cíclico fica completamente determinado se soubermos a imagem do gerador.

• Exercício para casa: Seja $G = \langle a \rangle$ um grupo cíclico de ordem finita igual a n. Prove que $a^m$ gera $G \sse mdc\{ m, n \} = 1$.

Não é verdade que todos os elementos de um grupo cíclico geram o grupo. Mas é verdade que todos os elementos de um grupo de ordem prima geram o grupo.

Tem como um elemento ser invertível e não gerar todo mundo .-.. Isso é diferente dos ideais.

• Prova de que se $G$ é cíclico então seus subgrupos também são.

Apesar de ter visto isso nessa aula, eu apaguei da minha memória e só fui reaprender isso 1 dia antes da prova. A demonstração usa o PBO e a divisão euclidiana.

• Prova de que se $G = \langle a \rangle$ é um grupo cíclico de ordem finita igual a n e existe um $d>0$ tal que $d|n$ então $\exists !$ subgrupo de G com ordem igual a $d$.

• Exercício para casa: Mostrar que todo grupo quociente de um grupo cíclico é cíclico.

• Comentário de que o $\mathbb{Z}$ tem subgrupos finitos se a operação de $\mathbb{Z}$ for a multiplicação. Mas mesmo assim, são só 2 subgrupos.

• Prova de que se $(\mathbb{K}, +, \cdot)$ é um corpo então todo subgrupo finito de $(\mathbb{K}^*, \cdot)$ é cíclico.

A prova usa um teorema ferrado de provar, dado nas primeiras aulas (aquele do supremo das ordens).

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Aula 11: prova de alguns isomorfismos importantes e Teorema chinês dos restos

• Prova de que $((\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^*, \cdot)$ é isomorfo a $(\mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z}, +)$, onde $p$ é um número primo.

Como $(\mathbb{Z}/ (p-1)\mathbb{Z}, +)$ é um grupo cíclico então o outro também é.

• Prova de que se a ordem de um gerador de um grupo cíclico for finita (ou seja, se o grupo for finito), então existe um homomorfismo ente esse grupo cíclico e um outro grupo qualquer se, e somente se a ordem da imagem do gerador divide a ordem do gerador. Quando existir, esse homomorfismo será único e definido por $f(a^r) = b^r$, $\forall r \in \mathbb{N}$ (onde $a$ é o gerador).

A ida ja foi demonstrada, pois ela ocorre em todo homomorfismo. A volta que é novidade. Para prova-la, o professor finalmente mostrou que uma função “normal” é bem definida. Mas não lembro exatamente o que ele fez.

Uma coisa que me irritou durante todo o curso é que a gente nunca provava que as funções que definiamos eram sobrejetoras. O argumento sempre era ‘f é sobrejetora por construção/definição’.

• Prova de que o mesmo ocorre para grupos cíclicos infinitos, mas nesse caso existe um homomorfismo para cada imagem possível do gerador. O homomorfismo é o mesmo acima.

Esses dois teoremas são úteis para encontrar todos os homomofismos de um grupo cíclico para outro qualquer, sem precisar daquela coisa de quocentar por subgrupos normais e encontrar os homomorfismos injetivos. Como $(\mathbb{Z}_n, +)$ é um grupo cíclico, podemos usar isso com ele. A única coisa chatinha é ter que calcular a ordem dos elementos na imagem, para ver quais odens são um divisor da ordem do gerador.

• Exercício para casa: determinar todos os homomorfismos do $\mathbb{Z}_4$ em $D_4$, todos do $\mathbb{Z}$ em $S_3$, todos do $\mathbb{Z}_5$ em $D_4$ e provar que $f$ é um automorfismo de um grupo cíclico gerado por $a$ se e só se $f(a)$ também é um gerador do grupo.

Esse último exercício caiu na P1!

• Cálculo dos automorfismos de $\mathbb{Z}$ usando o resultado acima que caiu na P1.

• Prova de que $(Aut(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}), \circ)$ é isomorfo a $((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*, \cdot)$. O isomorfismo é $\Phi(f) = f(\bar{1})$.

A prova gastou bastante tempo da aula. Ela é complicada mas ja teve provas bem piores.

Para provar isso você precisa definir a função certa (que é até deduzível) e não perder de vista o que você quer provar.

No futuro o professor usou essa proposição para saber quantos elementos tinham um $Aut(\mathbb{Z}_n)$

• Cálculo de $Aut(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ e $Aut(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z})$.

• Prova do Teorema chinês dos restos.

Na prova foi usado um resultado antigo (das primeiras aulas) e muita criatividade.

• Exercício para casa: provar que $\mathbb{Z}/m_1 \cdot … \cdot m_r \mathbb{Z}$ é isomorfo a $\mathbb{Z}_{m_1} \times … \times \mathbb{Z}_{m_r}$.

A prova usa o teorema dos isomorfismos.

No futuro o professor usou esse teorema para justificar que $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_3$ é isomorfo a $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_6$.

Eu consegui mostrar que se $\bar{m}$ é invertível em $(\mathbb{Z}_n, \cdot)$ então ele é gerador do $(\mathbb{Z}_n, +)$ (isso foi um dos primeiros exercícios do livro). No entanto, ainda não sei se ele é um gerador do $(\mathbb{Z}_n, \cdot)$ também.

Aula 12: prova de uma proposição difícil

• A aula inteira foi para provar 1 proposição, e o professor pedia para os alunos (que quisessem) fossem ao quadro provar as lacunas que o livro deixava.

A proposição tem tantos símbolos que eu to com preguiça de digitar aqui, mas para quem tiver curiosidade ela está na página 163 do livro texto.

Na aula, eu aprendi como usar o teorema dos isomorfismos junto com o Teorema de Lagrange para calcular a cardinalidade do núcleo de um isomorfismo.

• Fim do conteúdo para a P1.

A primeira parte do conteúdo foi só para construir a teoria (grupos, subgrupos e grupos quocientes, homomorfismos). Só na última seção, que foi sobre grupos cíclicos, que começamos a usar essa teoria construida. A partir de agora creio que usaremos ela até o fim do curso.

Aula 13: aula de dúvidas

• Aula de dúvidas.

Enquanto ele fazia uma questão eu percebi que para testar se um subgrupo era normal ou não, ele tentava encontrar algum produto que não comutava (ainda não entendi direito porque).

Além disso, para saber a cardinalidade de um grupo quociente finito, o professor usava o Teorema de Lagrange (isso é útil para saber se você não errou nada).

• O professor provou que $G/G’$ é abeliano só trabalhando com igualdades de classes de equivalência.

Aula 14: P1

• P1.

Depois de fazer a P1 e pegar umas dicar conversando com meus colegas eu consegui fazer a 5. A criatividade para faze-la se resume a “abrir” as potências do $a$ até elas acabarem, usando repetidamente a segunda hipótese. Nem me passou pela cabeça fazer isso durante a prova.

Estudando pra P1 eu percebi algumas coisas:

Essa matéria ta me fazendo perceber que eu não sei resolver exercícios, tal como um bom matemático saberia. Eu tenho muita dificuldade pra encontrar o caminho certo entre as hipóteses e a tese, mas espero que isso seja treinável. Eu acho que o que me falta é criatividade e inteligência. Eu sei deduzir informações corretas a partir das hipóteses porque entendo lógica, mas não sei quais são as informações corretas que vão me levar até a tese. E mesmo quando já deduzi as informações certas para me levarem a tese eu não acredito que elas de fato vão me levar até e ai paro antes de conseguir. Ultimamente eu to supondo bastante o problema resolvido pra ver se ajuda, mas não ta ajudando tanto.

Alguns comentários

• Uma coisa que eu percebi é que quase sempre que a tese for provar que alguma ordem de um elemento x divide algo, o que eu preciso fazer é mostrar que x elevado a esse algo da a identidade. Daí a tese se segue de um teorema forte lá, que diz que a ordem de x é a menor potência de x que da a identidade, e todas as outras potências que fazem isso são múltiplos da ordem.
• Outra coisa interessante é que pra provar que uma função que tem domínio e contradomínio iguais e finito é sobrejetora, basta provar que ela é injetora.
• Estranhamente, todo grupo é homomorfo a um grupo quociente seu (basta definir a projeção e verificar isso).
• O único subgrupo normal não trivial de $S_3$ é o $\langle \alpha \rangle = \{Id, \alpha, \alpha ^2 \}$.
• O teorema de lagrange junto com o teorema dos isomorfismos te da uma forma de calcular o tamanho do nucleo de um homomorfismo (se for entre grupos finitos). O teorema de Lagrange te da a cardinalidade do grupo quociente e o teorema dos isomorfismos te diz que isso é igual a cardinalidade da imagem.
• A gente pode literalmente fazer operações em equações de classes de equivalência. Isso é incrível e estranho ao mesmo tempo.
• Finalmente caiu a ficha de que eu consigo calcular o resto de qualquer divisão que eu quiser só sabendo operar no $Z_n$.
• Ainda não sei porque os elementos que deixam resto 1 quando divididos por alguém são tão importantes.
• Sempre que eu achar que preciso de algo novo para chegar na tese eu devo olhar para as hipóteses (ou ao menos se lembrar que eu preciso usar todas as hipóteses para chegar na tese).

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