Resumo do meu curso de Teoria dos Grupos – Parte 2: Produto semi-direto e classificação dos grupos de ordem menor que 11

Olá! Eu faço bacharelado em matemática e atualmente terminei uma matéria da graduação chamada Teoria dos Grupos. Nesse post fiz um resumo (recheado de comentários meus) de tudo que vi na segunda parte do conteúdo.

Você pode conferir a parte 1 e a parte 3 desse resumo aqui:

Resumo do meu curso de Teoria dos Grupos – Parte 1: Teoria básica

Resumo do meu curso Teoria dos Grupos – Parte 3: representações, teoremas de Sylow, classificação dos grupos simples e classificação dos grupos de ordem menor que 15

O livro texto foi Elementos de Álgebra, do Arnaldo Garcia, e o professor seguiu o livro texto fielmente. A matéria cobriu os capítulos 5, 6 e 7 do livro. A cada aula o professor dava umas 3 páginas do livro.

Haviam 3 aulas por semana de 2 horas cada.

As descrições do que teve na aula estão com uma bolinha no começo e os meus comentários não.

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Aula 15: estudo de alguns grupos gerados por dois elementos

• Começo da matéria da P2

• A aula foi sobre grupos gerados por dois elementos.

Acho que o ojetivo agora é provar que o $S_3$ é o único grupo (a menos de isomorfismo) que satisfaz as seguintes propriedades: $G = \langle a, b \rangle, a^3 = e, b^2 = e$ e $ba = a^2b$.

• Enunciamento e prova do seguinte teorema: Seja $s \geq 1$ um inteiro. Sejam $G$ um grupo finito e $a, b \in G$ satisfazendo $ba = a^s b$. Sejam $G’$ um grupo e $\alpha, \beta \in G’$. Sejam $n, m \geq 1$ inteiros tais que $a^n = e$, $b^m \in \langle a \rangle$. ENTÃO: 1) $b^t \cdot a^r = a^{rs^t} \cdot b^t \ \forall r, t \in \mathbb{N}$ e $\langle a, b \rangle = \{a^i b^j / 0 \geq i \geq n-1$ e $0 \geq j \geq m-1 \}$ 2) Se os inteiros $n, m$ são escolhidos minimalmente sastisfazendo $a^n = e$, $b^m \in \langle a \rangle$, então o grupo $\langle a, b \rangle$ tem ordem igual a $nm$. 3) Se os inteiros $n, m$ são escolhidos minimalmente, e se $u$ é um inteiro tal que $b^m = a^u$, então existe um homomorfismo $f: \langle a, b \rangle \rightarrow G’$ com $f(a) = \alpha$ e $f(b) = \beta$ se e somente se $\beta \alpha = \alpha^s \beta$, $\alpha^n = e$ e $\beta^m = \alpha^u$.

A primeira parte o professor provou por indução sobre $t$. Nela trabalhamos com automorfismos internos. Para prová-la tem que ser criativo. Nessa parte também usamos a hipótese para “comutar” os elementos e usamos a divisão euclidiana. O livro não faz essas contas mas o professor fez e eu tirei foto.

Acho que automorfismos internos aparecem sempre que queremos estudar a comutatividade de um elemento.

A segunda parte é mais fácil de provar e não usa divisão euclidiana (eu achei que usaríamos quando vi na aula).

A ida da terceira parte é fácil, só usar as propriedades de homomorfismo (o professor chamou de trivial eu acho).

O professor explicou que quando definimos uma função da forma $f(a^i) = y$ onde $a^i = a^j$ para algum $i, j$ nós precisamos mostrar que essa função está bem definida. Nesse teorema nós meio que fazemos isso na parte 2.

Provar que a $f$ é homomorfismo na volta da parte 3 não é nada intuitivo. Usa divisão euclidiana.

A volta da parte 2 também é teorema (o professor provou por contradição usando a ida).

• Enunciamento e prova do seguinte teorema: Sejam $n, m, s, u$ inteiros $\geq 0$. 1) Se $G$ é um grupo de ordem $nm$ que possui elementos $a, b$ tais que $G = \langle a, b \rangle$, $a^n = e$, $b^m = a^u$ e $ba = a^s b$ então $s^m \equiv 1$ mod $n$ e $u(s – 1) \equiv 0$ mod $n$. 2) Reciprocamente, se $s^m \equiv 1$ mod $n$ e $u(s – 1) \equiv 0$ mod $n$ então existe um grupo $G$ de ordem $nm$ que possui dois elementos $a, b$ satisfazendo as condições acima. E esse grupo é único a menos de isomorfismo.

A parte 1 é surpreendentemente mais fácil do que parece.

Para justificar que $b^m a = a b^m$ o professor usou que potências de a comutam entre si (já que tínhamos as hipóteses).

O professor disse que só vamos consguir provar a parte 2 quando vermos a teoria de produto semi direto.

Finalmente me caiu a ficha de que todo grupo cíclico é abeliano (a prova é ridícula). Eu já havia provado isso a muito tempo, mas não tinha internalizado ainda.

Aula 16: isomorfismo entre $S_3$ e $Aut(S_3)$ e classificação dos grupos de ordem 1, 2, 3, 4, 5, 7, 11

• Prova de que se existe um grupo de ordem $nm$ satisfazendo $G = \langle a, b \rangle$, $a^n = e$, $b^m = a^u$, $ba = a^su$, ele é único a menos de isomorfismo. A prova do teorema é definir $f : G \rightarrow G$ definida por $f(a^ib^j) = \alpha^i\beta^j$ e mostrar que $f$ é um isomorfismo.

Esse teorema é útil para caracterirzamos os grupos de ordem menores que 11. Mas já poderíamos ter começado a fazer isso a muito tempo, e isso foi fonte de uma dúvida que falarei mais pra frente.

Enquanto o professor provava isso eu percebi uma coisa: eu vinha achando que toda função entre grupos cíclicos poderia ser definida só dizendo a imagem dos geradores, mas isso só é verdade se a função for um homomorfismo. Eu usei isso na prova sem saber disso tudo.

• Prova de um colorário do teorema acima que diz que

$ \begin{aligned} f: && Aut(G) & \to && \{ (\alpha, \beta) \in G \times G \ / \ G = \langle \alpha, \beta \rangle, \beta \alpha = \alpha^s \beta, \alpha^n = e, \beta^m = \alpha^u \} \\ && f & \longmapsto && x \end{aligned} $

é uma bijeção.

• Comentário de que não existem únicos $\alpha, \beta$ que satisfazem essas condições, por isso há mais de um automorfismo.

Enquanto ele explicava isso eu percebi que em algum momento provamos que $G/Z(G) \approx I(G)$.

Essa nova teoria nos deu vários resultados antigos, mas um resultado foi que $Aut(S_3) \approx S_3$. Para provar isso usamos o teorema da primeira bolinha desta aula, mostrando que existe 2 automorfismos satisfazendo as hipóteses.

Isso não é tão fácil quanto parece pois precisamos conhecer os elementos de $Aut(S_3)$ para fazer isso.

• Exercícios para casa: $I(S_3) \cong S_3$, $Aut(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2) \cong S_3$, $Aut(D_4) \cong D_4$, $I(D_4) \cong \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ e $Aut(\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_2) \cong D_4$.

Depois disso o professor começou a segunda parte da aula, que foi pra classificar todos os grupos de ordem menor que 12. Classificar significa dizer que TODOS são isomorfos a algum grupo conhecido.

• Classificação dos grupos de ordem 1: todos são isomorfos a $G = \{ e \}$.
• Classificação dos grupos de ordem 2, 3, 5, 7, 11: todos são isomorfos as $(\mathbb{Z}_p, +)$

A explicação é porque se eles tem ordem prima eles são cíclicos (consequência do Teorema de Lagrange), logo eles são isomorfos a $\mathbb{Z}_p$, por causa de um teorema da seção de grupos cíclicos.

• Classificação dos grupos de ordem 4: todos são isomorfos a $\mathbb{Z}_4$ ou $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$. Para classificar os grupos de ordem 4 usamos alguns argumentos, sendo eles: Se o grupo tiver um elemento de ordem 4 ele é cíclico e portanto isomorfo a $(\mathbb{Z}_4, +)$. Se o grupo não tiver um elemento de ordem 4, então todos os seus elementos (tirando o neutro) tem ordem 2 (porque pelo teorema de Lagrange, a ordem dos elementos tem que dividir a ordem do grupo, e os divisores de 4 são 1, 2 e 4 apenas). Segue de um exercício que o grupo é abeliano. Seja $a \in G$ e $b \in G$ tal que $b \notin \langle a \rangle$. Temos então que $\langle a, b \rangle = \{ e, a, b, ab \}$ é um subgrupo de $G$ (precisa-se verificar isso, mas é verdade). Logo, como esse subgrupo tem 4 elementos, $G = \langle a, b \rangle$. Defina $f: G \rightarrow \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ tal que $f(e) = (\bar{0}, \bar{0})$, $f(a) = (\bar{1}, \bar{0})$, $f(b) = (\bar{0}, \bar{1})$ e $f(ab) = (\bar{1}, \bar{1})$. É possível verificar que $f$ é isomorfismo.

A diferença principal entre o $(\mathbb{Z}_4, +)$ e o $(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2, +)$ é que o $\mathbb{Z}_4$ tem um elemento de ordem 4 (o $\bar{1}$) e o $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ não (todos os seus elementos são de ordem 2).

Aula 17: classificação dos grupos de ordem 6 e 8 e correção da P1

• O professor começou classificando os grupos de ordem 6. Para fazer isso ele usou o teorema forte provado na aula 15. Logo, ele precisa mostrar a existência de 2 elementos satisfazendo as hipóteses do teorema. Seja $G$ um grupo de ordem 6. Se o grupo fosse cíclico ($G = \langle \gamma \rangle$) existiria $ \gamma^2$ onde $o(\gamma^2) = 3$ (pois $(\gamma^2)^3 = e$). Se o grupo não for cíclico então também existe um elemento $\alpha$ de ordem 3 (o prof provou isso por contradição, pois conseguiu construir um subgrupo de ordem 4 caso não existisse esse elemento). Continuando, se o grupo for cíclico então também existe um elemento de ordem 2 (o $\gamma^3$). Segue que $|\langle \gamma^2, \gamma^3 \rangle | > 3$, pois $| \langle \gamma^2 \rangle| = 3$ e $\gamma^3 \notin \langle \gamma^2 \rangle$. Segue do Teorema de Lagrange que $ |\langle \gamma^2, \gamma^3 \rangle | = 6$, pois 6 é o único divisor de 6 que é maior que 4. Logo, já provamos que $G$ é gerado por $\gamma^2$ e $\gamma^3$ e que esses elementos tem as ordens que queremos. Se $G$ não é cíclico, já sabemos que existe um elemento $\alpha$ de ordem $3$. Tome $\beta \notin \langle \alpha \rangle$. Então o prof provou que $\langle \alpha, \beta \rangle = \{e, \alpha, \alpha^2, \beta, \alpha \beta, \alpha^2 \beta \}$, argumentando que esses elementos tem que ser distintos ou cairíamos num absurdo. Além disso, $o(\beta) = 2$ por um argumento lá. Por fim, temos que $\beta \alpha = \alpha \beta$ ou $\beta \alpha = \alpha^2 \beta$. Se o primeiro ocorre, segue do teorema da aula 15 que $G \cong \mathbb{Z}_6$. Se o segundo ocorre então $G \cong S_3$.

• Depois o professor começou a classificar os grupos de ordem 8. Primeiro ele definiu o grupo $Q_3$ dos quaternions e depois mostrou que ele não é isomorfo a nenhum dos outros grupos de ordem 8 (pra provar que ele não é isomorfo ao $D_4$ o professor mostrou que as ordens dos elementos do $Q_3$ e do $D_4$ eram diferentes. Logo, há 5 grupos de ordem 8. Ai começa tudo de novo. Seja $G$ um grupo de ordem 8. Se $G$ for cíclico então ele é isomorfo ao $\mathbb{Z}_8$. Se $G$ não for cíclico então podem ocorrer os seguintes casos: $G$ não tem elementos de ordem 4. Daí todo mundo teria ordem 2 e portanto $G$ seria abeliano. Tome $a \neq e$, $b \notin \langle a \rangle$ e $c \in \langle a, b \rangle$. Então $G = \{ e, a, b, c, ab, ac, abc, bc \}$. Daí o prof só definiu uma função de $G$ em $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ e pediu pra gente verificar que é isomorfismo. Caso tenha algum elemento $a$ de ordem 4, tome $b \notin \langle a \rangle$, então $G = \{ e, a, a^2, a^3, b, ab, a^2 b, a^3 b \}$. Daí ele mostrou que $b^2 \in \langle a \rangle$ (usando o argumento de sempre) e que $ba \in \{ab, a^2 b, a^3 b\}$. Daí ele tirou uns argumentos do bolso pra eliminar algumas dessas possibilidades, sobrando só algumas possibilidades. Depois disso ele finalmente começou a usar o teorema forte para todas as possibilidades. Se $u = 0$ e $s = 1$, $G \cong \mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_2$. Se $u = 0$ e $s = 3$, $G \cong D_4$. Se $u = 2$ e $s = 1$ então $G \cong \mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_2$. E se $u = 2$ e $s = 3$ então $G \cong Q_3$.

• Exercícios para casa: verificar que todos os subgrupos de $Q_3$ são normais.

Isso faz de $Q_3$ ser um contraexemplo importante, pois ele é um grupo não abeliano onde todos os subgrupos são normais. Logo, a “implicação” se todos os subgrupos de um grupo são normais então o grupo é abeliano é falsa.

• Correção e entrega da P1.

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Aula 18: classificação dos grupos de ordem 9 e 10 e começo de produto direto

• Classificação dos grupos de ordem 9. Todos são isomorfos ou a $\mathbb{Z}_9$ ou a $\mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_3$.

Pra saber quem são os elementos do grupo o professor usava a intuição. Mas depois ele provava por abusrdo que aqueles realmente são os elementos do grupo.

Aqui eu percebi que todos os grupos de ordem menos que 11 são gerados por no máximo 2 elementos.

Nessa classificação o prof teve que recorrer ao $s^m \equiv 1$ mod $n$ para tirar algumas possibilidades do $s$ (eu acho). Além disso ele teve que fazer uma troca de variáveis estranha.

Haja criatividade para classificar os grupos ta.

Uma forma de enxergar que $\mathbb{Z}_9$ é um grupo diferente de $\mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_3$ é que o primeiro tem um elemento de ordem 9 e o segundo não.

• Classificação dos grupos de ordem 10.

Os argumentos dessa classificação são parecidos com os da classificação dos grupos de ordem $6$. Aqui também provamos por absurdo que sempre existe elementos de uma ordem lá, por exemplo.

Ele também recorreu ao $s^m \equiv 1$ mod $n$ aqui (no finalzinho pra saber quem $s$ pode ser).

• Definição do “$D_5$”, que é o grupo de simetrias de um pentágono regular.

• Generalização dos grupos de ordem $2p$, que são grupos de simetria de um polígono.

• Começo da seção de produto direto.

• Enunciamento de que se $G, G_1, … , G_n$ são grupos então $G \cong G_1 \times … \times G_n$ se e só se $G$ possui subgrupos $H_1 \cong G_1, … , H_n \cong G_n$ tais que $G = H_1 … H_n$, $H_i \trianglelefteq G, \forall i = 1, …, n$ e $H_i \cap (H_1 … H_{i-1}H_{i+1} … H_n) = \{ e \}, \forall i = 1, …, n$.

O $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ é um grupo com o produto direto, e eu só percebi isso aqui (apesar de ter feito questões até na prova sobre esse grupo).

Antes de provar esse teorema o professor provou a ida do seguinte lema:

• Prova de $G$ possui subgrupos $H_1 \cong G_1, … , H_n \cong G_n$ tais que $G = H_1 … H_n$, $H_i \triangleleft G, \forall i = 1, …, n$ e $H_i \cap (H_1 … H_{i-1}H_{i+1} … H_n) = \{ e \}, \forall i = 1, …, n$ se e só se $\forall g \in G$ existem elementos unicamente determinados $x_1 \in H_1, …, x_n \in H_n$ tais que $g=x_1 … x_n$ e $\forall i =/= j$, temos $xy = yx \forall x \in H_i$ e $\forall y \in H_j$.

A prova da ida do lema é criativa mas é fazível. Só que a segunda parte dela é dificíl de pensar sozinho.

Aula 19: fim de produto direto de grupos e começo de poduto semidireto de grupos

• Prova da volta de que $G$ possui subgrupos $H_1 \cong G_1, … , H_n \cong G_n$ tais que $G = H_1 … H_n$, $H_i \triangleleft G, \forall i = 1, …, n$ e $H_i \cap (H_1 … H_{i-1}H_{i+1} … H_n) = \{ e \}, \forall i = 1, …, n$ se e só se $\forall g \in G$ existem elementos unicamente determinados $x_1 \in H_1, …, x_n \in H_n$ tais que $g=x_1 … x_n$ e $\forall i =/= j$, temos $xy = yx \forall x \in H_i$ e $\forall y \in H_j$.

As ideias são criativas mas entendiveis. Só quando ele usou a unicidade das representações para concluir que uns elementos eram iguais lá que foi estranho.

• Prova de que se $G, G_1, … , G_n$ são grupos então $G \cong G_1 \times … \times G_n$ se e só se $G$ possui subgrupos $H_1 \cong G_1, … , H_n \cong G_n$ tais que $G = H_1 … H_n$, $H_i \trianglelefteq G, \forall i = 1, …, n$ e $H_i \cap (H_1 … H_{i-1}H_{i+1} … H_n) = \{ e \}, \forall i = 1, …, n$.

A prova da ida não usa o lema. Apesar da prova ser conceitual (e não criativa), ela é uma prova bem dificil. É um outro tipo de dificuldade, a que eu gosto.

A volta do teorema usa o lema. Nela só temos que definir a função certa e usar o lema.

• Começo da seção de produto semidireto de dois grupos.

O professor fez um bom trabalho explicando como as novas ideias que iremos estudar generaliza a teoria de produto direto. O nome é semi produto direto porque estamos generalizando o produto direto.

• Sejam $H, K$ grupos. Prova de que $(H \times K, \cdot_{\sigma})$ é grupo.

Eu nunca vi tanto símbolo na vida igual vi nessa prova. Mas consegui refazer ela quando fiz em casa com muita calma.

Uma dúvida que fiquei nessa parte é se $\sigma(k_1)(h_2)$ é uma composição de funções. Nós primeiro aplicamos $\sigma$ em $k_1$ e depois aplicamos o resultado em $h_2$. Acho que isso não é uma composição. O que ta acontecendo é que a imagem de $\sigma$ é uma função, ai nós só estamos aplicando essa imagem.

É importante notar que $\sigma$ é um homomorfismo de $K$ em $Aut(H)$ e $\sigma(k_1)$ é um automorfismo de $H$.

• Prova de que $(K \times H, \cdot_{\sigma}) = (K \times H, \cdot)$ (aqui é o produto direto) $\sse \sigma$ é o homomorfismo trivial.

Isso é útil para sabermos quando obtemos um grupo novo de fato.

• Dedução de quem é $\langle (k, h) \rangle$ com o semi produto direto.

• Verificação de várias propriedades do produto semi direto.

Aqui eu percebi que primeiro tenho que estudar os produtos diretos, depois estudar quando $G \cong G_1 \times … \times G_n)$ e depois estudar os produtos semi diretos. Num estudo ideal, obviamente.

• Prova de que $\{ e \} \times H \trianglelefteq (K \times H, \cdot_{\sigma})$

Aula 20: continuação de produto semi direto. Começamos a encontrar um novo grupo de ordem 12.

• Denotação de $(K \times H, \cdot_{\sigma})$ como $K \times_{\sigma} H$.

• Explicação a pedidos de uma amiga de como se prova que $Aut(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2) \cong S_3$. Pra achar os elementos de $Aut(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2)$ o professor foi testando todas as possibilidades de imagens para $(\bar{1}, \bar{0})$ e $(\bar{0}, \bar{1})$.

• Prova de que $K \times \{ e \} \trianglelefteq K \times_{\sigma} H \sse \sigma$ é o homomorfismo trivial.

Essa é uma propriedade importante pois nos diz que $K \times_{\sigma} H$ só é abeliano se o $\sigma$ for o homorfismo trivial (aquele que leva todos pro neuto).

A prova da volta usa o teorema passado que diz que $K \times \{ e \} \trianglelefteq K \cdot H$.

A ida é um pouco natural, mas usa aquele negócio de juntar o $\sigma$ e a possibilidade de tomar valores de sentenças com para todo. Para juntar o $\sigma$ o professor justificou falando que é porque $\sigma$ é homomorfismo.

Pra calcular automorfismos você usa bastante a preservação de ordem.

• Exemplo de um $K \times_{\sigma} H$ que tem 6 elementos (com $\sigma$ que não é o trivial) que é isomorfo ao $S_3$.

Pra justificar que o $K \times_{\sigma} H$ não era abeliano o professor falou que é porque $\sigma$ não era o trivial.

• Dedução de quem é $(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2) \times_{\sigma} \mathbb{Z}_3$. Para isso temos que verificar quem é esse grupo para cada $\sigma$.

Pra achar os homomorfismos de $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ pro $\mathbb{Z}_3$ o professor tirou argumentos da bunda e concluiu que haviam 4 homomorfismos. Isso quer dizer que há 4 $\sigma$.

O professor chama o ato de achar elementos que satisfazem aquelas propriedades lá de analisar a estrutura do grupo.

Pra falar que $(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2) \times_{\sigma} \mathbb{Z}_3$ é gerado por $a$ e $b$ o prof falou que a gente tem que mostrar que $b \notin \langle a \rangle$ e que $\langle a, b \rangle$ tem 12 elementos do mesmo jeito que a gente fazia pra classificar grupos (mostrando que todos são diferentes entre si e depois mostrar que $a^3 \neq e$. Muito específico eu sei.

O objetivo de estudar produto semidireto de grupos é pra continuar classificando os grupos de ordem finita. Para fazer isso o que nós precisamos (até agora) é de conceitos básicos de grupos, teoria de grupos cíclicos, aquele teorema forte que envolve estrutura do grupo e agora produto semidireto.

A gente frequentemente tem que calcular o conjunto de todos os automorfismos de um grupo, mas não aprendi um algorítmo pra isso ainda.

Não tivemos que ver os grupos gerados por $(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2) \times_{\sigma} \mathbb{Z}_2$ porque esses grupos teriam ordem 8 (e já classificamos todos os grupos de ordem 8).

Nós vamos parar a classificação nos grupos de ordem 12 (mas vamos classificar os de ordem 15 também).

Todos os grupos de ordem 12 gerados pelos produtos semidiretos de $\mathbb{Z}_3$ por $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ são isomorfos ao $D_6$ (grupo de simetrias do hexágono). Eu não sei encontrar todos os elementos do $D_6$.

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Aula 21: obtenção de um novo grupo de ordem 12, prova do teorema enunciado na aula 15 e prova de um teorema que nos fala quando dois produtos semidiretos coincidem.

• Obtenção de um novo grupo de ordem 12 a partir do produto semidireto de $\mathbb{Z_4} \times_{\sigma} \mathbb{Z_3}$. Pra justificar que esse grupo não é isomorfo a nenhum dos outros grupos de ordem 12 conhecido o professor usou o seguinte argumento: só conhecemos o $\mathbb{Z_{12}}$ e o $D_6$. Esse novo grupo não é abeliano porque $\sigma$ não é o trivial. E esse grupo não é isomorfo ao $D_6$ pois $D_6$ tem 7 elementos de ordem 2 e esse grupo só tem um elemento de ordem 2 (o professor calculou a ordem de todo mundo). Logo, ele é um novo grupo, denotado por $T$.

• Exercício pra casa: verificar que $\mathbb{Z}_{12}$ é o único produto semidireto de $\mathbb{Z_4}$ por $ \mathbb{Z_3}$.

Eu fiz esse exercício sem querer quando estava estudando, o que me fez perceber que $\mathbb{Z_4} \times \mathbb{Z_3} \neq \mathbb{Z_3} \times \mathbb{Z_4}$. E também me fez perceber que homomorfismo trivial $\neq$ homomorfismo identidade.

Sempre que a gente ta trabalhando com dois $\mathbb{Z_n}$ as barras ficam ambiguas.

• Uso da teoria de produto semidireto para obter de um grupo não abeliano cuja cardinalidade é $|Aut(H)| \cdot |H|$. Não entendi direito porque ele deu esse exemplo, pois ele não parece muito importante.

• Prova de que se $H$ e $K$ são cíclicos então existe uma bijeção entre $Hom(K, Aut(H))$ e $\{ 1 \leq s \leq n -1/ s^m \cong 1$ mod $n \}$. Nesse teorema o professor precisou deduzir quem são os elementos de $Aut(\mathbb{Z_n})$ . Para isso ele usou que $Aut(\mathbb{Z_n}) \cong Z_n ^*$.

Eu to com dificuldades até pra entender o enunciado desse teorema.

• Uso do teorema acima para provar o reultado de existência enunciado na aula 15 (a volta que ficou faltando). Para provar que $G = \langle a, b \rangle$ (onde $a$ e $b$ são uns elementos específicos lá) o professor usou um argumento que usamos constantemente na classificação dos grupos, de que $a^i b^j$ tem que ser distinto de todas as outras potências pois se não caíriamos num absurdo. Daí o professor encontrou $nm$ elementos distintos fazendo isso, que é a cardinalidade de $G$. Logo, $G = \langle a, b \rangle$.

• Prova de que sejam $H$ e $H_1$ dois grupos, $\Psi : H \to H_1$ um isomorfismo e $\Psi^* : Aut(H) \to Aut(H_1)$ o isomorfismo definido por $\Psi^* (f) = \Psi \circ f \circ \Psi^{-1}$ para $f \in Aut(H)$. Sejam $K$ e $K_1$ dois grupos e sejam $\sigma: K \to Aut(H), \sigma_1 : K_1 \to Aut(H_1)$ dois homomorfimos. a) Se existir um homomorfismo $\phi: K \to K_1$ tal que $\sigma_1 \circ \phi = \Psi^* \circ \sigma$ (isto é o mesmo que dizer que um diagrama lá comuta) então a aplicação $\bar{\phi} : K \times_{\sigma} \to K_1 \times{\sigma_1} H_1$ onde $\bar{\phi}(k, h) = (\phi (k), \Psi (h))$ é homomorfismo. b) Se $\phi$ for isomorfismo então $\bar{\phi}$ também é isomorfismo.

Teorema em que fui completamente derrotado. Na verdade, tirando o começo dessa aula ela foi uma das mais difíceis do curso (pelo menos até aqui).

A filosofia desse teorema é descobrir quando dois produtos semidiretos coincidem sem precisar fazer as contas.

• Análise do caso particular do teorema acima em que $K = K_1$, $H = H_1$ e mais outras coisinhas. Esse colorário mostra exatamente quando dois produtos semidiretos coincidem.

Finalmente entendi que o conjunto de todos os homomorfismos de um grupo A pro B ($Hom(A, B)$) não é um grupo munido com a composição porque o neutro tem que ser a identidade, que só é definida se $A = B$, e nem todo homomorfismo tem inverso, só se ele for um isomorfismo.

Aula 22: dedução de que $\mathbb{Z}_3 \times_{\sigma_1} (\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2)$ é um grupo novo de ordem 12, caracterização dos produtos semidiretos, começo da prova de que $\mathbb{Z}_{15}$ é o único grupo de ordem 15 (a menos de isomorfismo).

Eu perdi os primeiros 30 minutos da aula porque fiquei conversando com uns amigos.

• Acho que o começo da aula foi para deduzir quem são os produtos semidiretos do $\mathbb{Z}_3 \times_{\sigma} (\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2)$. Primeiro ele deduziu quem são os elementos do $Aut(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2)$ (usando que esse grupo é isomorfo ao $S_3$), depois ele deduziu os elementos do $Hom(\mathbb{Z}_3, Aut(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2)) = \{ \sigma_t, \sigma_1, \sigma_2 \}$ onde $\sigma_t$ é o homomorfismo trivial e depois ele encontrou um automorfismo $\phi: \mathbb{Z}_3 \to \mathbb{Z}_3$ tal que $\sigma_1 = \sigma_2 \circ \phi$. Daí ele usou o teorema da aula passada para falar que $\mathbb{Z}_3 \times_{\sigma_1} (\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2)$ é isomorfo a $\mathbb{Z}_3 \times_{\sigma_2} (\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2)$. Daí ele calculou as ordens dos elementos do $\mathbb{Z}_3 \times_{\sigma_1} (\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2)$ e concluiu que esse é um grupo que não conheciamos antes.

O mais difícil dessa parte (que eu não vi/entendi como ele fez) foi encontrar essa $\phi$.

• Explicação de que a melhor forma de saber se encontramos um grupo novo brincando com os produtos semidiretos é olhando para a ordem dos elementos do grupo.

• Prova de um teorema que caracteriza os produtos semi diretos, isto é, que diz quando $G \cong K \times_{\sigma} H$.

A prova da ida é conceitual mas é difícil porque usa propriedades não provadas de isomorfismo (que um isomorfismo leva subgrupo a subgrupo e subgrupo normal a subgrupo normal).

Pra provar a volta a gente usa um colorário da aula passada, define uma função e mostra que ela é isomorfismo usando muuuitas propriedades de produto de grupos (conteúdo lá do começo da P1). É díficil pra caramba.

• Começo da prova de que se $|G| = 15$ então $G \cong \mathbb{Z}_{15}$. Isto é, $\mathbb{Z}_{15}$ é o único grupo de ordem 15. Para provar isso, primeiro ele provou por absurdo que $G$ tem um subgrupo de ordem 3. Ele fez isso mostrando que se $G$ não tivesse então haveria um subgrupo de $G$ com mais de 15 elementos. Depois ele provou por absurdo que $G$ tem um subgrupo de ordem 5. Essa parte é tão longa que o professor nem fez tudo. Depois ele mostrou que $G$ tem um subgrupo normal. Daí o tempo da aula acabou.

Aula 22: fim da prova de que $\mathbb{Z}_{15}$ é o único grupo de ordem 15 e começo do estudo dos grupo de permutações.

• Prova de que só o $\mathbb{Z}_{15}$ é um grupo de ordem 15. A prova usa o teorema passado que caracteriza os produtos semidiretos. Acho que também usamos que $\mathbb{Z}_3^* \cong \mathbb{Z}_2$ e que $K \cong \mathbb{Z}_n \imp Aut(K) \cong Aut(\mathbb{Z}_n)$.

• Começo do estudo de grupos de permutações provando o teorema de Cayley, que diz que todo grupo finito é isomorfo a algum subgrupo de um grupo de permutações.

Aqui eu percebi que o que chamamos de permutação nesse curso não é só uma bijeção. Uma permutação é uma bijeção no $I_n$.

• Definição de r-ciclo, que é uma permutação particular.

• Definição de transposição, que é um 2-ciclo.

Os r-ciclos não tem uma única representação (no sentido de notação).

• Explicação de que os 1-ciclos são a identidade.

• Exercícios para casa: 1) Prove que se $\alpha$ e $\beta$ são ciclos disjuntos então $\alpha \beta$ = $\beta \alpha$. 2) Se $\alpha$ é um r-ciclo então $o(\alpha) = r$. 3)Se $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, …, \alpha_t \in S_n$ são ciclos disjuntos de comprimento $r_1, r_2, …, r_t$, então $o(\alpha_1 \circ … \circ \alpha_t) = mmc\{ r_1, …, r_t \}$.

O primeiro exercício nos mostra que se os ciclos são disjuntos então eles comutam. Nós usamos esse fato pra fazer o terceiro exercício.

• Prova de que toda permutação pode ser fatorada por ciclos disjuntos de forma única(a menos de ordem dos fatores). A prova da existência usa um argumento criativo e indução. A prova da unicidade é difícil pra caramba.

Essa foi uma prova que consegui acompanhar minimamente durante a aula.

Essa prova facilita as computações no grupo $S_n$.

• Mais exercícios para casa: 4) Seja $p$ primo e $n \in \mathbb{N}$. Prove que todo elemento de ordem $p$ no grupo $S_p$ é um p-ciclo. 5) Prove que $S_p$ não tem elemento de ordem $kp$, onde $k \geq 2$. 6) Se $t \in \mathbb{Z}^+$ então $S_n$ possui elementos de ordem $p^t$ se e só se $n \geq p^t$. 7) Mostre que as possiveis ordens dos elementos de $S_7$ pertencem ao conjunto $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 12 \}$.

Para fazer o primeiro exercício temos que provar que uma permutação é um ciclo. Usar a definição de ciclo é praticamente inviável, então uma alternativa é usar o teorema passado e o exercício do mmc.

Pra fazer a última você também usa o teorema passado e o exercício do mmc. Além disso, você tem que estudar todos os casos possíveis de fatoração em ciclos disjuntos de uma permutação do $S_7$.

• Explicação da relação entre ordens e decomposições em r-ciclos.

• Prova de que todo elemento de $S_n$ é produto de transposições. E que nem precisa-se usar todas as transposições, só as que são de uma forma lá. Mas as transposições não são disjuntas.

Não entendi nada da prova pois já estava derretido.

As únicas permutações que podem ser fatoradas em transposições disjuntas são as que tem ordem 2.

A demonstração dessa prova nos dá as seguintes fórmulas importantes: $(a_1 a_2 … a_r) = (a_1 a_r) \circ (a_1 a_{r-1}) \circ … \circ (a_1 a_2)$ e $(ij) = (ki) \circ (kj) \circ (ki)$.

Além disso, $(ij) = (ji)$.

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Aula 23: prova de que todas as fatorações de uma permutações em transposições tem a mesma paridade, e estudo do tipo de decomposição das permutações.

• Exercícios que foram pra casa: provar que a função que leva um polinômio de n inderteminadas no mesmo polinômio com as inderteminadas permutadas é um isomorfismo de anéis; provar que uma permutação pode ser escrita como um produto de transposições disjuntas se e somente se sua ordem for igual a 2; provar que a decomposição de uma permutação em transposições não é única.

• Prova de uma proposição muito difícil de enunciar, mas que um colorário dela é que a fatoração de uma permutação em transposições sempre tem a mesma paridade, mesmo a fatoração não sendo única.

Eu literalmente fechei o olho enquanto o professor provava isso e fiquei pensando em outras dúvidas.

• Definição de permutação par e ímpar.

• Prova de que o conjunto das permutações pares $A_n$ é um subgrupo normal de $S_n$ de índice 2.

A prova usa uma função definida na proposição anterior que eu fechei o olho.

Como o índice de $A_n$ é $2$ e $|S_n| = n!$ então pelo teorema de Lagrange, $|A_n| = \frac{n!}{2}$.

• Exercícios para casa: mostrar que se $H < S_n$ então $H < A_n$ ou $(H : H \cap A_n) = 2$; escrever cada elemento de $S_4$ como um produto de ciclos disjuntos, depois como um produto de transposições, depois ver queos elementos de $A_4$ são exatamente os produtos de dois 2-ciclos disjuntos e os 3-ciclos de $S_4$ e ver que $A_4$ possui exatamente 3 elementos de ordem 2 e exatamente 8 elementos de ordem 3.

No primeiro exercício basta restringir o homomorfismo que leva as permutações pares no $1$ e as permutações ímpares no $-1$.

Eu realmente escrevi os 24 elementos de $S_4$ pra fazer o segundo exercício. É interessante ver como o grupo de Klein aparece quando fazemos isso.

• Definição de tipo de decomposição de uma permutação.

• Prova de que se $\rho$ e $\sigma$ são permutações e a fatoração em ciclos disjuntos de $\rho$ é $(a_{11} … a_{1r_1}) … (a_{t1} … a_{tr_t})$ então $\sigma \circ \rho \circ \sigma^{-1} = (\sigma(a_{11}) … \sigma(a_{1r_1})) … (\sigma(a_{t1}) … \sigma(a_{tr_t}))$. Isso significa que $\rho$ e $\sigma \circ \rho \circ \sigma^{-1}$ tem o mesmo tipo de decomposição.

Aula 24: estudo dos $A_n$.

Depois dessa aula eu percebi que toda permutação pode ser fatorada em ciclos disjuntos de forma única (a menos de ordem), mas esses ciclos não podem ser só transposições e que a fatoração em só transposições sempre tem a mesma paridade (mas pra mesma permutação pode existir uma fatoração em transposições que tem 6 fatores e outra que tem 8).

• Prova de que se $\rho$ e $\rho’$ são permutações com o mesmo tipo de decomposição então existe $\sigma \in S_n$ tal que $\rho’ = \sigma \circ \rho \circ \sigma^{-1}$.

• Prova de que se as permutações $\rho, \rho’ \in S_n$ têm o mesmo tipo de decomposição e se a permutação $\rho$ deixa pelo menos duas letras fixas (e, a fortiori, a permutação $\rho’$ também deixa), então $\mu \in A-n$ tal que $\rho’ = \mu \circ \rho \circ \mu^{-1}$.

• Cálculo de quantos 3-ciclos tem no $S_4$. O prof usou só o PFC e criatividade.

• Exercício pra casa estranho.

O professor falou que esse exercício pode ser útil em uma situação lá.

• Prova de que $A_n = \langle \{ \text{3-ciclos} \} \rangle$

Essa foi a única prova da aula que eu acho que conseguiria fazer sozinho.

• Definição de grupo simples.

A partir daqui o objetivo é encontrar os subgrupos normais de $S_n$.

• Começo da prova de que se $n = 3$ ou $n \geq 5$ então $A_n$ é simples.

Estranho só o $A_4$ não ser simples.

Aula 25: dedução dos subgrupos normais de $A_n$ e $S_n$.

Depois dessa aula eu percebi como encontrar o inverso de um ciclo. Basta usar a definição de função inversa.

• Prova insana de que se $n = 3$ ou $n \geq 5$ então $A_n$ é simples.

• Prova de que os subgrupos normais do $A_4$ são $\{ Id \}, A_4$ e $K = \{ Id, (12)(34), (13)(24), (14)(23) \}$. Esse $K$ é conhecido como grupo de Klein.

Enquanto o prof explicava isso eu percebi que a ordem de $(12)(34)$ é $2$ porque os dois ciclos são disjuntos então a ordem da composição é o mmc da ordem dos dois ciclos, que é 2.

• Prova criativa de que $K$ é um subgrupo normal de $A_4$. Ele provou isso mostrando que $K$ é o único subgrupo de $A_4$ de ordem 4 (de um jeito que esqueci mas criativo) e depois usou o teorema que caiu na P1.

• Prova de que se $n = 3$ ou $n \geq 5$ então os únicos subgrupos normais do $S_n$ são $\{ Id \}, A_n$ e $S_n$.

A prova usa a $\Phi$ definida na aula passada, o teorema de Lagrange, usa que $H \cap A_n \triangleleft A_n$ e redução ao absurdo.

$A_n$ é normal pois seu índice é 2, e provamos la no começo do curso que se o índice de um subgrupo é 2 então ele é normal.

$K$ é normal em $S_4$ pois ele é subgrupo característico de $A_4$ que é normal em $S_4$.

• Prova de que os únicos subgrupos normais de $S_4$ são $\{ Id \}, A_4, K$ e $S_4$.

O professor usou que $A_n = \langle \{\text{3-ciclos} \}$ toda hora nessas provas.

No fim da aula eu percebi que os 2k-ciclos são ímpares (no sentido de suas fatorações em transposições terem uma quantidade ímpar de fatores) e os 2k+1-ciclos são pares. É só usar uma identidade da aula 22 pra perceber isso.

Aula 26: aula de exercícios.

• Aula de exercícios.

Nessa aula eu percebi que não sei nada sobre os quaternions, mas aprendi que eles são um subconjunto das matrizes 2×2. E acho que o neutro dos quaternions é o 1.

• Prova de que só existe um elemento de ordem 2 no $Q_n$. A prova é difícil pra caramba.

Aula 27: aula de exercícios.

Eu faltei porque estava passando mal, mas foi aula de exercícios.

Aula 28: P2

Em minha defesa (até mesmo contra o André do Futuro que esquecerá desses dias mas que lembrará da nota), eu fiz essa prova no começo de um tratamento psquiátrico, e o remédio me deixava extremamente inquieto. Sentar por 2 horas numa cadeira foi agoniante.

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