História do cálculo diferencial

Apesar do título, este post não é um resumo da história do cálculo diferencial. Portanto, não espere ler sobre quem inventou o cálculo ou coisas desse tipo. Na verdade, o que quero fazer é apenas resolver o primeiro exercício de derivadas da história da humanidade (e aprender bastante sobre cálculo diferencial no processo).

Sim, foi um clickbait. Mas continue comigo, pois é muito mais divertido e interessante conhecer a história pelos exercícios da época!

Abaixo está o sumário para que você tenha uma ideia do que está por vir.

Introdução

Tive a ideia de resolver esse exercício ao ver um vídeo que fez praticamente o mesmo que vou fazer neste post. A diferença é que a solução do vídeo foi uma adaptação da resposta dada em 1637 por Fermat, enquanto a minha solução é a minha mesmo.

Pelo fato de minha solução ser inferior, talvez algum leitor possa pensar que ela é inútil, já que existem soluções melhores. No entanto, escrevo este post porque acho que ela também possui seu valor: como diário de estudos de um graduando em matemática que está tentando aprender conceitos difíceis.

Minha abordagem para atacar o problema será dar soluções iniciais e tentar corrigir os erros delas para produzir soluções melhores. E iterar esse processo indefinidamente!

(Mas parei no 2 nesse post xD)

Feita a justificativa para este post existir, gostaria de enfatizar que minha fonte é exclusivamente o vídeo que assisti. Portanto, se o exercício que farei não for o primeiro da história e então o pouco de história do cálculo diferencial que este texto possui estiver errado, culpe o autor do vídeo e não a mim!

Muito bom roubar conteúdo e ainda se livrar de responsabilidades por isso, hehe

Recomendo que você assista ao vídeo em questão antes de continuar:

Caso você não tenha visto o vídeo, o enunciado do exercício é o seguinte:

Dado um segmento de tamanho fixo, qual é a relação entre as medidas dos tamanhos , dos pedaços e de para que o retângulo determinado por eles tenha área máxima?

Note que, na notação que estou usando, deonta o segmento cujas extremidades são os pontos e , enquanto denota a medida do tamanho do segmento .

Para clarear um pouco as ideias com desenhos, um exemplo dos segmentos , e poderia ser:

Aí, o retângulo determinado por e seria:

Daí, a pergunta a se fazer seria se esse é o retângulo que possui área máxima dentre todos os possíveis.

Solução 1

Quando eu estava vendo o vídeo, pausei imediatamente ao ver o enunciado do exercício e fui tentar resolvê-lo sozinho. Como consequência, cheguei a esta solução:

em preto está a minha solução, e em vermelho está o que eu entendi da solução do vídeo.

(É possível dar zoom se você precisar)

Apesar de eu ter chegado na resposta certa, é fato que essa solução está longe de ser satisfatória. Por que raios eu disse que a área do retângulo vai ter valor máximo quando sua derivada em relação a medida for zero?

Lembro de ter decorado isso em algum momento e não ter esquecido porque faz certo sentido intuitivo.

Mas só a intuição não basta, então fui ler algumas seções do capítulo 4 do Stewart para entender por que o que eu fiz deu certo. Ao fazer isso, me deparei com dois teoremas chamados Teorema do Valor Extremo e Teorema de Fermat, que eu não conhecia apesar de já ter feito Cálculo 1 xD.

Venha conhecê-los comigo!

(Não sei se eles são importantes na história do cálculo diferencial, mas são muito importantes no cálculo atual)

Aprofundamento na teoria do cálculo diferencial

Teorema do Valor Extremo

O Teorema do Valor Extremo diz o seguinte:

O Stewart omitiu a demonstração do teorema por ser difícil de ser feita.

Teorema de Fermat

Já o enunciado do Teorema de Fermat diz:

Note que o enunciado do teorema é um pouco diferente de dizer que ‘a área do retângulo vai ter valor máximo quando sua derivada em relação a medida for zero’, como eu havia dito na solução anterior. Eu tentei bastante explicar a diferença, mas infelizmente não consegui. O Stewart se aprofunda um pouco nisso (dando alguns exemplos) se você estiver interessado.

(Note também que o Fermat no nome do teorema é o mesmo Fermat da solução do vídeo! Quero ver alguém falar que esse post não é sobre a história do cálculo diferencial agora)

De toda maneira, metade da demonstração do Teorema de Fermat foi feita pelo Stewart. Veja:

Intuitivamente, o que eu entendo da demonstração do teorema é:

No ponto máximo, a tangente consegue enconstar só nele sem precisar se inclinar. É como se ela ficasse equilibrada no topo da função (se for o ponto mínimo ela estaria flutuando). Daí ela teria a mesma inclinação que o eixo x.

Mas essa é uma explicação horrivel e espero que eu consiga melhorá-la no futuro.

Conclusão

Unindo os dois teoremas, podemos concluir que se uma função tiver um intervalo fechado contínuo, então o intervalo terá no mínimo dois pontos extremos. E se eles forem deriváveis, então suas derivadas são zero.

Solução 2

Depois de tudo isso, acho que se me pedissem para refazer a questão eu faria assim:

(Essa também da pra dar zoom)

Eu particularmente acho essa solução bem mais satisfatória que a primeira.

(Isso quer dizer que eu evolui enquanto fazia esse post!!)

Digo isso porque na minha primeira solução eu não justifiquei a afirmação de que a área do retângulo possui valor máximo, ou que ela muda de forma contínua para que seja derivável. E principalmente, não justifiquei porque a derivada do valor máximo é zero.

Já nessa solução, as justificativas foram o enunciado, a natureza geométrica do problema e os dois teoremas que vimos.

Especificando um pouco mais, na primeira solução eu meio que contornei o fato de que área é uma função de duas variáveis usando implicitamente as informações do enunciado. Aqui eu fiz todo um argumento com funções para usar que o tamanho do segmento dado é fixo, e assim conseguir enfrentar o fato da área ser uma função de duas variáveis.

Mas provavelmente esse argumento tem algo errado, porque eu não sei dizer se a função é diferente da função .

(Infelizmente ainda não sei trabalhar com funções de duas variáveis ;-;)

O que a Solução 3 tem que ter

Aliás, apesar de melhor que a primeira, essa solução também está longe de ser satisfatória por dois motivos:

1. Apesar de eu achar que essas novas funções são necessárias para entender o que estou fazendo nesse exercício, elas são muito confusas. Quem são os domínios e imagens de todas essas funções?
2. Só usar os teoremas não quer dizer que eu entendi eles.

Eu poderia começar a tentar esclarecer o ponto 1 alegando que os domínios devem ser subconjuntos de , pois medidas de tamanhos de segmentos são números reais positivos. E as imagens também devem ser subconjuntos de , pois medidas de áreas também são números reais positivos. O problema real é descobrir os limites desses subconjuntos.

Já com ponto 2 eu não sei nem por onde começar. Não tenho ideia de como esses teoremas garantem resultados tão fortes dentro da teoria do cálculo. E o pior é que eles são a alma da solução 2.

Se eu fosse começar a pensar numa solução 3 para esse exercício, começaria tentando responder esses pontos. Mas no momento já estou satisfeito com esse pequeno mergulho na história do cálculo diferencial.

Dúvidas que surgiram ou foram revividas por essa pesquisa

Dúvidas minhas que surgiram ou foram revividas enquanto eu escrevia esse post:

1. Aparentemente o cálculo é a ferramenta que a matemática usa para lidar com fluxos/mudanças no mundo. Eu ainda não entendo direito como isso acontece exatamente, mas me encanto porque mudança é um tópico espinhoso e debatido desde Heráclito e Parmênides. A minha dúvida é: o que problemas de otimização tem a ver com mudanças? Para mim eles são simplesmente problemas sobre maximizar alguma quantidade.
2. Quando eu estava lendo o Stewart, também me deparei com um terceiro teorema, chamado Teorema do Valor Médio, mas eu não precisei usar ele no texto. O problema é que eu acho que ele é o teorema mais importante do capítulo 4. O que isso significa? (Pelo menos o TVM é o único teorema que eu lembro de ter caido numa prova minha de Cálculo 1)
3. Creio que a alma da resolução seja o Teorema de Fermat, inclusive acredito que a resposta do vídeo meio que usa/demonstra esse teorema. Dito isso, a última dúvida é justamente tentar provar e entender o Teorema de Fermat.

Desafio

É curioso que o primeiro exercício de derivadas da história tenha sido um exercício de otimização. Um outro problema de otimização parecido com esse e que me foi sugerido por uma amiga que o viu com o Felipe Guisoli é:

Qual triângulo possui área máxima dado um perímetro fixado?

Eu pensei bastante mas não consegui resolvê-lo. Um amigo muito inteligente me mandou essas soluções aqui, mas eu não entendi as contas. Só entendi que a resposta é…

Se você está lendo isso e sabe como fazer, explica ai nos comentários! O problema é que não da pra escrever em Latex nos comentários eu acho ;-;

Referências

Cálculo – James Stewart (7ª edição)

Se gostou desse texto, leia meus outros textos sobre cálculo:

Dedução da área do círculo – Quarto 707

3 deduções da derivada da função exponencial – Quarto 707