Demonstração do Teorema de Bézout usando o Princípio da Boa Ordenação

Neste post demonstrarei o Teorema de Bézout, um importante teorema para a teoria dos números e a álgebra abstrata, principalmente quando falamos de equações diofantinas, domínios principais e invertibilidade em $\mathbb{Z}_n$.

Conteúdo do post

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Enunciado do Teorema de Bézout

O Teorema de Bézout diz que:

Sejam $a, b \in \mathbb{Z}$. Então existem $x, y \in \mathbb{Z}$ tal que $ax+by = mdc\{a, b\}$.

Em linguagem natural: o maior divisor comum de dois inteiros pode ser escrito como uma combinação linear desses inteiros.

Demonstração do Teorema de Bézout

Sejam $a, b \in \mathbb{Z}$. Defina o conjunto

$ A = \{ ax+by \ | \ \exists x, y \in \mathbb{Z} \} $.

Tomando $x = 1$ e $y = 0$ temos que $a \in A$. E tomando $x = -1$ e $y = 0$ temos que $-a \in A$. Logo, $A \cap \mathbb{N} \neq \emptyset$. Como $A \cap \mathbb{N}$ é limitado inferiormente pelo $1$, segue do Princípio da Boa Ordenação que $\exists \min(A \cap \mathbb{N})$.

Mostrarei que $\min(A \cap \mathbb{N})$ é exatamente o $mdc\{a, b\}$. Então, pela definição de MDC, devo mostrar que $\min(A \cap \mathbb{N})$ divide $a$ e $b$ e que se $c$ divide $a$ e $b$ então $c$ divide $\min(A \cap \mathbb{N})$.

Comecemos mostrando que $\min(A \cap \mathbb{N})$ divide $a$. Para isto, é útil notar que como $\min(A \cap \mathbb{N}) \in A$, $\exists x_0, y_0 \in \mathbb{Z}$ tal que

$ \min(A \cap \mathbb{N}) = ax_0+by_0 $.

Pela divisão euclidiana, $\exists q, r \in \mathbb{Z}$ tal que

$ a = \min(A \cap \mathbb{N}) \cdot q+r \: \text{ com } \: 0 \leq r < |\min(A \cap \mathbb{N})| $

E $|\min(A \cap \mathbb{N})| = \min(A \cap \mathbb{N})$ pois $\min(A \cap \mathbb{N})$ é um número natural. Logo,

\[ \begin{aligned} r & = a-\min(A \cap \mathbb{N}) \cdot q \\ & = a-(a x_0+b y_0)q \\ & = a-ax_0q-by_0q \\ & = a (1-x_0 q)+b (-y_0 q) \end{aligned} \]

Temos então que $r$ está em $A$. Mas se $r \neq 0$, então $r \in \mathbb{N}$, e portanto, pela minimalidade de $\min(A \cap \mathbb{N})$, $r \geq \min(A \cap \mathbb{N})$.Isto é, caímos num absurdo, pois tínhamos que $r < \min(A \cap \mathbb{N})$. Logo, $r = 0$ e então $\min(A \cap \mathbb{N})$ divide $a$.

De forma análoga (perdão!!) podemos mostrar que $\min(A \cap \mathbb{N})$ divide $b$, creio eu. Mas ai o $1$ apareceria na segunda parcela do $r$.

Agora falta mostrar que se $c$ divide $a$ e $b$ então $c$ divide $\min(A \cap \mathbb{N})$. Seja $c$ tal que $c$ divide $a$ e $b$. Segue que $\exists k_1, k_2 \in \mathbb{Z}$ tal que

$a = k_1 c \: \text{ e } \: b = k_2 c$.

Logo, $a x_0 = k_1 x_0 c$ e $b y_0 = k_2 y_0 c$. Então,

$\min(A \cap \mathbb{N}) = a x_0+b y_0 = k_1 x_0 c+k_2 y_0 c = (k_1 x_0+k_2 y_0)c$

e portanto $c$ divide $\min(A \cap \mathbb{N})$. $_{\blacksquare}$

Comentários sobre a demonstração

O que temos que aceitar para provar o teorema de Bézout é o PBO e a divisão euclidiana. Esses dois resultados são bem abstratos, e é por isso que a demonstração não é intuitiva.

Eu não sei se a volta do teorema de Bézout é verdadeira. Eu perguntei pro ChatGPT e ele disse que se exigirmos que a combinação linear seja apenas um divisor comum de $a, b$ (e não o maior divisor comum) então a volta se torna verdadeira.

Outra coisa que o ChatGPT me falou que complementa a primeira (e que explodiu minha mente se for verdade) é que o conjunto $A$ que defini na prova é o conjunto de todos os múltiplos do $mdc\{a, b\}$. O pior é que isso parece ser verdade, pois $A$ é fechado pra multiplicação, então todos os múltiplos do mdc estão contido lá. Acho que pra provar a outra inclusão é só usar a divisão euclidiana. Talvez algum dia eu tente fazer isso. O legal de todo número da forma $ax+by$ ser um múltiplo do $mdc$ de $a$ e $b$ é que isso nos da um critério pra saber quando uma equação diofantina tem solução. Basta ver se o lado direito da equação é um múltiplo do $mdc$ das constantes.

Diário de Estudos

Eu decidi provar esse teorema porque na minha primeira aula de Teoria dos Grupos o professor usou esse teorema para provar que se $mdc\{x, n\} = 1$ então $\bar{x} \in \mathbb{Z}_n$ é invertível. Como odeio usar um teorema que não sei a prova (mesmo usando a divisão euclidiana sem saber prová-la xD), decidi tentar prová-lo e gastei 3 semanas pra isso. Graças a Deus consegui, mas dei uma roubada em alguma dessas semanas, pois olhei como provava que $(\mathbb{Z}, +, \cdot)$ é domínio principal, e esse teorema é praticamente a mesma coisa que o teorema de Bézout, só que disfarçado. Mas não deixarei isso tirar meu mérito, pois o sentimento de felicidade me diz que foi graças a muito esforço que eu consegui prová-lo.

Por fim, queria dizer que odeio chamar algo que faço de demonstração, pois para mim as únicas coisas dignas de serem chamadas disso são as que estão no Principia do Russell e Whitehead ou no livro do Mortari. Mas como minha argumentação está igual à que vemos nos livros, e lá eles chamam de demonstração, decidi chamar de demonstração dessa vez.