Dedução da área do círculo usando integrais

Atualmente acabei a primeira parte (de três) do meu curso de Cálculo 2, e uma das coisas que “aprendi” foi como resolver integrais usando substituições trigonométricas. Assunto correspondente a seção 7.3 do livro de cálculo do Stewart.

Com esse conhecimento é possível deduzir a famosa fórmula da área do círculo ( $A = \pi r^2$ ), e é exatamente isso que farei nesse texto.

Sumário

Preliminares

Para fazer a dedução, usarei muitos conhecimentos anteriores ao de substituição trigonométrica. Alguns deles são:

Equação analítica do círculo

A equação de um círculo de raio $r$ com centro na origem é:

$y^2 + x^2 = r^2$

Como a área de um círculo é a mesma independentemente de onde colocarmos o sistema de coordenadas, podemos usar essa equação de um círculo com centro na origem para calcular a área de um círculo com centro fora da origem sem perder generalidade.

E se isolarmos o y dessa equação teremos que:

$y = \sqrt{r^2 - x^2}$

$y = -\sqrt{r^2 - x^2}$

Essas são as equações analíticas do círculo e dos seus semi-círculos.

Cada equação em que o $y$ está isolado corresponde a um semi-círculo do círculo inteiro. E como os dois semi-círculos possuem a mesma área, podemos dizer que a área total do círculo é 2 vezes a área de um dos semi-círculos.

Entendido tudo isso, podemos finalmente começar a falar de cálculo!

Conceito de integral

Agora, outra coisa que precisamos saber é que a integral definida de uma função cujo o gráfico é uma curva é igual a a área abaixo da curva. Ou seja, a integral

$\int_{-r}^{r}\sqrt{r^2 - x^2} \,dx$

simboliza a área abaixo do semi-círculo de raio $r$ .

Note que é bem importante que a integral possua os limites de integração. Caso ela seja uma integral indefinida, quando você for calcular essa expressão você vai cair em uma expressão bem diferente de $\pi r^2$ . Eu não sei dar uma resposta satisfatória do porque isso acontece, e esse foi um erro que eu só percebi quando pedi para a minha professora de Cálculo 2 fazer essas mesmas contas que farei a seguir.

De qualquer forma, o que eu disse até aqui foi para concluir que a área total de um círculo de raio $r$ é:

(1) $\begin{equation*} A_{circulo} = 2 \int_{-r}^{r}\sqrt{r^2 - x^2} \,dx \end{equation*}$

Então tudo que precisamos fazer agora é calcular essa expressão.

Calculando a área do círculo

Substituição trigonométrica

Para calcular a integral da expressão, usarei a técnica que comentei no início (chamada substituição trigonométrica), que vi em Cálculo 2.

A técnica consiste em fazer uma substituição de variáveis específica, para que a raiz do integrando suma. A substituição é:

$x = r\cos(\theta)$

(a raiz também sumiria se fizessemos $x = r\sin(\theta)$ )

Como estamos mudando a variável da integral, precisamos também mudar os limites de integração e o $dx$ da integral.

Se $x = r$ então $r = r\cos(\theta)$ . Logo, $\cos(\theta) = 1$ . Como $\cos^{-1}(1) = 0$ , temos que $\theta = 0$ .

Se $x = -r$ então $-r = r\cos(\theta)$ . Logo, $\cos(\theta) = -1$ . Como $\cos^{-1}(-1) = \pi$ , temos que $\theta = \pi$ .

(Eu não tenho ideia do porque não posso usar os outros valores de $\theta$ que também satisfariam as equações, mas nem quero pensar nisso agora)

Além disso, se $x = r\cos(\theta)$ então $\frac{dx}{d\theta} = -r\sin(\theta)$ e $dx = -r\sin(\theta)d\theta$ .

Com isto concluimos que:

$\int_{-r}^{r}\sqrt{r^2 - x^2} \,dx = \int_{\pi}^{0}\sqrt{r^2 - r^2 \cos^2(\theta)}(-r)\sin(\theta) \,d\theta$

Simplificando ainda mais a integral usando as suas propriedades algébricas e uma identidade trigonométrica teremos:

$\int_{\pi}^{0}\sqrt{r^2 - r^2 \cos^2(\theta)}(-r)\sin(\theta) \,d\theta = -r \int_{\pi}^{0}\sqrt{r^2 (1 - \cos^2(\theta))} \sin(\theta) \,d\theta$

$= -r \int_{\pi}^{0} r \sqrt{sin^2(\theta)} \sin(\theta) \,d\theta = -r \int_{\pi}^{0} r\sin(\theta)\sin(\theta) \,d\theta$

$= -r^2 \int_{\pi}^{0} \sin^2(\theta)\,d\theta$

(refaça todas essas contas sozinho!)

Note que o problema agora se resume a integrar $\sin^2(x)$ .

Integral de sin²(x)

Eu sei duas formas diferentes de integrar $\sin^2(x)$ . Uma usa a identidade trigonométrica $\sin^2(\theta) = \frac{1 - \cos(2 \theta)}{2}$ , que eu nunca tinha visto antes das minhas aulas de Cálculo 2 e a outra usa integração por partes. Vou optar pela integração por partes nesse texto por ser mais natural.

A integração por partes é um teorema (que eu também vi em Cálculo 2) que garante que a seguinte igualdade é verdadeira sempre:

$\int f'(x)g(x) \,dx = f(x)g(x) - \int f(x)g'(x) \,dx$

Então é só usar isso para integrar o que queremos da seguinte forma:

Cálculo da integral do seno ao quadrado utilizando integração por partes.

Eu até tentei usar partes direto na integral definida, só que dava umas coisas estranhas. Mas isso não é um problema imediato porque agora que temos uma primitiva de $\sin^2(\theta)$ , basta aplicá-la de $\pi$ a $0$ assim:

$\int_{\pi}^{0} \sin^2(\theta)\,d\theta = \frac{\theta - \cos(\theta)\sin(\theta)}{2} \Big|_0^\pi = \frac{0 - 1 \cdot 0}{2} - \frac{\pi - (-1) \cdot 0}{2} = - \frac{\pi}{2}$

Fim da dedução da área do círculo

Finalmente, se substituirmos tudo que descobrimos na equação (1), teremos:

$A_{circulo} = 2 \int_{-r}^{r}\sqrt{r^2 - x^2} \,dx = 2 (-r^2) \int_{\pi}^{0} \sin^2(\theta)\,d\theta = 2 (-r^2) (-\frac{\pi}{2}) = \pi r^2$

como queríamos demonstrar!

Dúvidas que tive enquanto eu estudava essas coisas

Eu já comentei sobre algumas das dúvidas que tive enquanto escrevia esse texto. Para recapitular: a mudança dos limites de integração foi estranha e aplicar partes em uma integral definida também foi estranho.

Mas eu não comentei sobre a pior dúvida de todas, que é: eu não sei o que é substituição de variáveis. Já tentei de tudo para responder essa dúvida (inclusive perguntar para uns 3 professores diferentes), mas ainda não tenho nenhuma ideia que possa me ajudar. Fazer o que né.

Finalização

Nesse texto, eu usei técnicas do cálculo para deduzir a fórmula da área do círculo. Essa é a primeira dedução da área do disco que eu aprendi. (juro!)

Faz 4 anos que eu venho estudando matemática e eu nunca tinha aprendido nenhuma forma de demonstrar essa fórmula que eu provavelmente já havia decorado no meu primeiro ano de estudo, quando acessei o fórum piR2 pela primeira vez kkkk

~~Como eu odeio ter que decorar coisas para ver coisas ainda mais avançadas ;-;~~

Mas deixando essas frustações de lado, uma coisa legal é que com essa técnica de substituição de variáveis também é possível deduzir a área do setor de um círculo.

Isso é inclusive um exercício do Stewart, veja:

Exercício do Stewart em que é pedido a demonstração da área de um setor circular.

Caso alguém queira, eu posso fazer essa dedução aqui no blog porque vi minha professora fazendo essas contas e tirei foto hehe

Caso tenha gostado desse post, acesse meus outros posts de cálculo:

Estudo do movimento de projéteis – Quarto 707

História do cálculo diferencial – Quarto 707

Referências

Cálculo – James Stewart (7ª edição)