Daqui a alguns dias irei fazer o curso Análise 1 pela segunda vez e por isso decidi entender o que a definição de limite de sequências quer dizer intuitivamente.
Por entender intuitivamente eu quero dizer que irei ‘brincar’ com a margem de erro. Irei dar um erro ($\epsilon$) e dizer a partir de que momento a sequência para de oscilar e ‘estaciona’ perto do limite.
Chamarei os números da sequência de termos, com cada termo tendo sua posição na sequência (primeiro, segundo, etc.)
Conteúdo do post
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Conceito de limite de sequências
Acho que é válido discutir sobre a definição de limite de sequências antes de começarmos.
Dizer que o limite de uma sequência existe e é $L$ só significa dizer que conforme avançamos na sequência, os termos ficam cada vez mais parecidos com $L$.
Como essa explicação é um pouco vaga, a forma precisa de dizer o que foi dito acima é: para todo erro $\epsilon$ que você quiser, existe um $n_0$ tal que a partir do $n_0$-ésimo termo da sequência, a diferença entre $L$ e todos os próximos termos é menor que $\epsilon$.
Note que se o limite da sequência existir, mesmo para epsilons pequenos (como 0,001 por exemplo) ainda é possível encontrar um termo tal que a partir dele todos os outros termos só diferem por 0,001 do limite! Bora ver isso na prática.
Brincando com $a_n = \frac{1}{n}$
Seja $a_n = \frac{1}{n}$. O limite dessa sequência é zero.
A partir de qual termo os termos dessa sequência distam menos que 0,3 de zero?
Para encontrar o termo procurado, o que temos que fazer é resolver essa inequação para $n$:
\[ \frac{1}{n} < 0,3 \]
Isolando o $n$ nela obtemos que
\[ 3, 333… = \frac{1}{0,3} < n \]
Isso quer dizer que para todo $n$ maior que $3,333…$ temos que o n-ésimo termo é menor que $0,3$. Logo, basta tomar $n_0 = 4$.
De fato, como $a_n$ é decrescente temos que
\[ n > n_0 = 4 \imp \frac{1}{n} < \frac{1}{n_0} = \frac{1}{4} = 0,25 \]
Ou seja, para todo $n$ maior (ou igual) que $4$ temos que $a_n$ é menor que $0,25$ e portanto menor que $0,3$.
Pode não parecer, mas as contas que eu fiz são praticamente as mesmas que eu faria para provar que o limite dessa sequência é zero. Bastaria trocar 0,3 por $\epsilon$.
Agora uma mais difícil:
Brincando com $b_n = \frac{15n+10}{3n}$
Seja $b_n = \frac{15n+10}{3n}$. O limite dessa sequência é 5.
A partir de qual termo a diferença $|\frac{15n+10}{3n}-5|$ fica menor que $0,1$?
Novamente, o que tenho que fazer é isolar o $n$ na inequação $|\frac{15n+10}{3n}-5| < 0,1$.
E para fazer isso podemos simplificar o lado esquerdo da inequação assim:
\[\Bigg | \frac{15n+10}{3n}-5 \Bigg | = \Bigg |\frac{15n+10-15n}{3n} \Bigg | = \Bigg |\frac{10}{3n} \Bigg | \]
Como $n$ é um número natural, podemos tirar o módulo. Isto é, $|\frac{10}{3n}| = \frac{10}{3n}$.
Logo,
\[ \bigg |\frac{15n+10}{3n}-5 \bigg | < 0,1 \sse \frac{10}{3n} < 0,1 \]
Isolando o $n$ obtemos que
\[ \begin{align*} \frac{10}{3n} < 0,1 & \sse \\ \frac{10}{0,1 \cdot 3} < n & \sse \\ 33,3333… < n \end{align*} \]
Logo, a partir do trigésimo terceiro termo da sequência $b_n$, todos os termos estão entre $4,9$ e $5,1$.
Bora testar pra ver se isso é verdade?
Temos que
\[ b_{34} = \frac{15 \cdot 34+10}{3 \cdot 34} = \frac{520}{102} = 5,098… \]
E como $b_n$ é decrescente (verfique!), temos que $b_{35} < b_{34}$. E, como partimos de uma expressão com módulo e as contas não mentem, $b_n$ nunca fica menor que $4,9$ a partir do trigésimo terceiro termo. Veja:
\[ b_{200} = \frac{15 \cdot 200+10}{3 \cdot 200} = \frac{3010}{600} = 5,0166… \]
Muito legal testar o que provamos com números. Novamente irei dizer, essas contas são praticamente as mesmas que eu faria pra provar que o limite de $b_n$ é 5. Eu só trocaria o $0,1$ por $\epsilon$.
Agora uma ainda mais difícil:
Brincando com $c_n = \frac{1}{2} + … + \frac{1}{2^n}$
Seja $c_n = \frac{1}{2} + … + \frac{1}{2^n}$. Isto é, $c_n = \sum_{i = 1}^n \frac{1}{2^i}$.
O limite dessa sequência é 1.
Eu sei disso pois $c_n$ é uma soma dos termos de uma PG, e a medida que $n$ aumenta $c_n$ se aproxima de $\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}-1} = \frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}} = 1$. Caso você não saiba de onde essa fórmula saiu, eu já deduzi ela (e outra fórmula que usarei abaixo) no seguinte post:
Dedução da soma dos termos de PG’s finitas e infinitas – Quarto 707
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A partir de qual termo a diferença $\big |\frac{1}{2} + … + \frac{1}{2^n}-1 \big |$ fica menor que $0,01$?
Novamente, precisamos isolar o $n$ da expressão $\big |\frac{1}{2} + … + \frac{1}{2^n}-1 \big | < 0,01$.
Como
\[ \begin{align*} \frac{1}{2} + … + \frac{1}{2^n} & = \\ \frac{\frac{1}{2}((\frac{1}{2})^n-1)}{\frac{1}{2}-1} & = \\ \frac{\frac{1}{2^{n+1}}-\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}} & = \\ (\frac{1}{2^{n+1}}-\frac{1}{2}) \cdot (-2) & = \\ 1-\frac{1}{2^n} \end{align*} \]
Temos que
\[ \Bigg |\frac{1}{2} + … + \frac{1}{2^n}-1 \Bigg | = \Bigg |1-\frac{1}{2^n}-1 \Bigg | = \Bigg |-\frac{1}{2^n} \Bigg | \]
Como $n$ é um número natural $-\frac{1}{2^n}$ é sempre negativo, então podemos tirar o módulo. Daí:
\[ \Bigg |\frac{1}{2} + … + \frac{1}{2^n}-1 \Bigg | = \frac{1}{2^n} \]
E agora só precisamos isolar o $n$:
\[ \frac{1}{2^n} < 0,01 \sse \frac{1}{0,01} < 2^n \sse \log_2(\frac{1}{0,01}) < n \]
Como $\log_2(\frac{1}{0,01}) \approx 6,643$, precisamos que $n$ seja maior que 6.
Portanto, a partir do sexto termo, os termos de $c_n$ estão entre 0,99 e 1,01. Bora ver se isso é verdade:
\[ c_7 = \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\frac{1}{128} = 0.992… \]
E como $c_n$ é crescente, $c_8 > c_7$. Mas nem vou testar o $c_{200}$ pra ver se de fato $c_n$ nunca passa de 1,01 pois da pra ver isso notando que $c_n$ é limitada pelo $1$, pois $c_n = 1-\frac{1}{2^n}$.
Comentários
Note que a sequência $\frac{1}{n}$ aparentemente converge mais rápido que a $\frac{15n+10}{3n}$, pois eu pedi um erro de $0,3$ na primeira e encontrei $n_0 = 4$ e eu pedi um erro de $0,1$ na segunda e encontrei $n_0 = 34$. Mas só daria pra afirmar isso se eu pedisse o mesmo erro pras duas sequências.
Nem sempre da pra isolar o $n$ para fazer o que eu fiz nesse post. Acho que é aí que entra a beleza da Análise: creio que o próximo passo no conteúdo seja criar técnicas para garantir que esse $n_0$ existe, mesmo quando não conseguimos ver o valor exato dele com uma calculadora.
Diário de estudos
Este é um post mais simples, onde realmente apenas “brinquei” com sequências convergentes, para entender de verdade o que fazemos em Análise. Daqui a 15 dias irei começar esse curso e confesso estar com medo do que está por vir, mas também estou muito ansioso, pois essa área me encanta bastante. Quero muito entender continuidade de funções e o que é o contínuo de forma geral. Espero que o curso renda muito mais posts.
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