Esta é uma lista de algumas das definições que nos deparamos ao estudar Teoria de Conjuntos.
Nesta lista estou assumindo que conjuntos são elementos primitivos e que eles são as únicas coisas que existem. Isto significa que os elementos dos conjuntos também são conjuntos.
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Conjunto das partes
Seja $A$ um conjunto. O conjunto das partes $\wp (A)$ é o conjunto de todos os subconjuntos de $A$.
Em termos mais simbólicos: $\wp (A) = \{x / x \subset A\}$ .
Par ordenado
Sejam $a$, $b$ elemento de um conjunto $A$. O par ordenado $(a, b)$ é exatamente o conjunto $\{\{a\}, \{a, b\}\}$ que pertence ao conjunto $\wp (\wp (A))$.
Em termos mais simbólicos: $(a, b) = \{\{a\}, \{a, b\}\}$.
N-upla ordenada
Produto cartesiano
Sejam $A$ e $B$ conjuntos. O produto cartesiano $A \times B$ de $A$ e $B$ é o conjunto de todos os pares ordenados $(a, b)$ tal que $a \in A$ e $b \in B$.
Em termos mais simbólicos: $A \times B = \{(a, b) / a \in A \e b \in B\}$.
Denotamos $A \times A \times A … $ iterado $n$ vezes como $A^n$.
Relação
Seja $A$ um conjunto e $n$ um número natural. Uma relação $R$ dos elementos de $A$ é qualquer subconjunto do produto cartesiano $A^n$.
Se $n =2$, a relação $R$ é chamada de relação binária.
Relação de equivalência
Seja $A$ um conjunto não vazio e seja $R \subset A \times A$ uma relação binária. $R$ é uma relação de equivalência se:
$(a,a) \in R$ para todo $a \in A$ (reflexividade)
Se $\exists a, b \in R$ tal que $(a,b) \in R$ então $(b,a) \in R$ (simetria)
Se $\exists a, b, c \in R$ tal que $(a,b) \in R$ e $(b,c) \in R$ então $(a,c) \in R$ (transitividade)
Se denotarmos $R$ como $\sim$, e $(a, b) \in R$ como $a \sim b$, então $\sim$ é uma relação de equivalência se:
$a \sim a$ para todo $a \in A$ (reflexividade)
Se $\exists a, b \in \ \sim$ tal que $a \sim b$ então $b \sim a$ (simetria)
Se $\exists a, b,c \in \ \sim$ tal que $a \sim b$ e $b \sim c$ então $a \sim c$ (transitividade)
Classe de equivalência
Seja $A$ um conjunto não vazio e seja $x \in A$ um elemento de $A$. $\overline{x}$ é uma classe de equivalência do elemento $x$ em relação a uma relação de equivalência $\sim$ se $\overline{x}$ é conjunto de todos os elementos relacionados a $x$ por $\sim$.
Em termos mais simbólicos: $\overline{x}=\{y \in A / x \sim y\}$
Conjunto quociente
Sejam $A$ um conjunto não vazio e $\sim$ uma relação de equivalência em $A$. $A \setminus \sim$ é um conjunto quociente de $A$ pela relação de equivalência $\sim$ se $A \setminus \sim$ é o conjunto de todas as classes de equivalência $\overline{x}$ determinadas por uma relação de equivalência $\sim$.
Partição
Sejam $A$ um conjunto não vazio e $P(A)$ o conjunto das partes de $A$. $\mathbb{P} \subset P(A)$ é uma partição do conjunto $A$ se:
Para todo $B_1$, $B_2 \in \mathbb{P}$, temos que $B_1 \neq B_2 \imp B_1 \cap B_2 = \emptyset$
$\bigcup\limits_{B_i \in \mathbb{P}} B_i = A$, onde $B_i$ é a família dos conjuntos pertencentes a $\mathbb{P}$ e, portanto, $i$ varia de $1$ até a cardinalidade de $\mathbb{P}$.
Função
Sejam $A$ e $B$ conjuntos não vazios. Uma função $f$ de $A$ em $B$ é um sub-conjunto de $A \times B$ tal que $\forall x, y, z \in A$, $(x, y) \in f$ e $(x, z) \in f \imp y = z$.
A partir daqui, denotaremos $(x, y) \in f$ como $y = f(x)$.
Imagem inversa
Note que a imagem inversa do contradomínio sempre será o domínio.
Função sobrejetora
Seja $f$ uma função de $A$ em $B$. $f$ é sobrejetora se $\forall y \in B$, $\exists x \in A$ tal que $y = f(x)$.
Função injetora
Seja $f$ uma função de $A$ em $B$. $f$ é injetora se $\forall x, y \in A$, $f(x) = f(y) \imp x = y$.
Função bijetora
Seja $f$ uma função de $A$ em $B$. $f$ é bijetora se ela for injetora e sobrejetora.
Família
Uma família $\{x_i\}$ é uma função qualquer.
União de uma família
Seja $\{x_i\}$ uma família. $\bigcup\limits_{i \in I} x_i$ é a união da família $\{x_i\}$ se for a união dos elementos da imagem da família $\{x_i\}$.
A partir daqui usaremos a definição de números nas definições posteriores. Ainda estou decidindo como farei para definir os números naturais, inteiros, racionais e reais aqui no blog, por isso finja que esses conjuntos foram definidos quando isso estiver pronto.
Conjunto finito
Conjunto infinito
Conjunto enumerável
Sequência
Seja $\{x_i\}$ uma família. $\{x_i\}$ é uma sequência se seu domínio é um número natural ou o conjunto do números naturais.
Fonte: página 48 do Teoria Ingênua de Conjuntos – Halmos.
Se o domínio for um número natural, a sequência é finita. E se o domínio for os números naturais, a sequência é infinita.
Há uma forma alternativa de se definir sequência, que pode ser vista no livro do Ederton. Ela é: uma sequência é uma n-upla ordenada.
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