Definições da Álgebra

Esta é uma lista de algumas das definições que nos deparamos ao estudar Álgebra Abstrata. Esta nota está em construção mas talvez possa te ajudar (terminarei em abril de 2026).

Definirei tudo em termos de conjuntos.

Lista das definições

Teoria de Grupos
Teoria de Anéis
Teoria de Domínios
Teoria de Corpos

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Teoria de Grupos

Operação

Seja $A$ um conjunto não vazio. Uma operação $*$ em $A$ é uma função cujo o domínio é $A^n$ e o contradominio é $A$, onde $n \in \mathbb{N}$.

Se $n = 2$, então a operação é binária.

Note que toda função é uma operação e toda operação é uma função.

A partir daqui, $*(a,b)$ será denotado por $a * b$.

Grupo

Note que o elemento neutro e o inverso de um elemento são únicos.

Grupo de permutações

Grupo linear geral sobre um corpo

Talvez essa definição devesse estar numa lista de definições da Álgebra Linear (eu sei que Álgebra Linear é uma parte da Álgebra, mas eu gosto de separar elas).

Subgrupo

Centro de um grupo

Seja $G$ um grupo. O centro $Z(G)$ de $G$ é o subgrupo…

Observe que $G$ é abeliano se e só se $G = Z(G)$.

Subgrupo gerado por um subconjunto

Seja … $\langle S \rangle = \{ a_1 a_2 … a_n / n \in \mathbb{N}, a_i \in S \; \text{ou} \; a_i \in S^{-1} \}$

Subgrupo dos comutadores

Seja $G$ um grupo. O subgrupo dos comutadores $G’$ é

O nome de um elemento do subgrupo dos comutadores é comutador.

Note que o subgrupo dos comutadores é uma espécie de contraparte do centro. De forma mais rigorosa, $G$ é grupo abeliano se e só se $G’ = \{e\}$.

Subgrupo torção

É o conjunto de todos os elementos do grupo abeliano que tem ordem finita.

Grupo cíclico

Note que se $G$ é cíclico então ele é abeliano.

É possível provar que todo grupo de ordem prima é cíclico (e portanto abeliano) usando o teorema de Lagrange.

Ordem de um grupo

É a cardinalidade do grupo.

Ordem de um elemento de um grupo

É a cardinalidade do subgrupo gerado pelo elemento.

Classes laterais

Índice do conjunto de classes laterais à esquerda

É a cardinalidade dele.

Sistema de representantes

Subgrupo normal

Um subgrupo é normal se ele satisfaz algumas das seguintes 3 condições equivalentes:

Como as classes laterais a esquerda e a direita de um subgrupo normal são iguais, chamaremos elas apenas de classes laterais.

Grupo quociente

-defina a operaçao induzida direitinho

Homomorfismo de grupos

Projeção

É o homomorfismo natural entre um grupo e seu grupo quociente.

Isomorfismo de grupos

Automorfismo

Grupo de automorfismos

$Aut(G)$

Automofirsmo interno

Grupo dos automofirsmos internos

$I(G)$

Note que $G$ é abeliano se e só se $I(G) = \{Id \}$.

Note que o subgrupo dos automorfismos internos é um subgrupo normal do grupo de automorfismos.

Note também que o grupo dos automorfismos internos é isomorfo a $G/Z(G)$.

(todos esses resultados que eu começo com ‘note…’ eu tirarei da versão definitiva desse post e provarei num post a parte)

Subgrupo característico

É um subrgupo que é estável (isto é, contém/é igual a sua imagem) por todos os automorfismos.

Exemplos de subgrupos que possuem todos os adjetivos de subgrupo (normal e característico) são o centro e o subgrupo dos comutadores.

Grupo gerado por dois elementos

Produto direto de grupos

Produto semidireto de $H$ por $K$ com homomorfismo $\sigma$

Teoria de Anéis

Anel

Sejam $A$ um conjunto não vazio e $(+), (\cdot)$ duas operações binárias em $A$, chamadas de adição e multiplicação. A tripla ordenada $(A, +, \cdot)$ é um anel se as operações tiverem as seguintes propriedades:

$\forall a, b, c \in A$, $(a + b) + c = a + (b + c)$. (associatividade da adição)

$\forall a, b \in A$, $a + b = b + a$. (comutatividade da adição)

$\exists 0 \in A$, tal que $\forall a \in A$, $a + 0 = 0 + a = a$. (elemento neutro da adição)

$\forall a \in A$, $\exists – a \in A$ tal que $a + (-a) = 0$. (inverso da adição)

$\forall a, b, c \in A$, $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$. (distributividade)

Se a multiplicação também for comutativa, dizemos que o anel é comutativo.

E se existir um elemento neutro da multiplicação, chamamos ele de unidade, denotamos ele de $1$ e dizemos que o anel é um anel com unidade.

Quando não houver risco de ambiguidade, denotaremos $(A, +, \cdot)$ simplesmente por $A$.

Depois que eu definir grupo definirei anel em termos de grupos, ai vai ficar uma “escadinha” legal nas definições, pois também definirei domínio em termos de anel e corpo em termos de domínio.

Subanel

Ideal

É a melhor ferramenta para estudar divisibilidade que conheço.

Elemento invertível de um anel

Sejam $A$ um anel com unidade e $a$ um elemento não nulo de $A$. $a$ é invertível se $\exists u \in A$ tal que $a \cdot u = u \cdot a = 1$.

Elementos associados de um anel

Sejam $A$ um anel e $a, b$ elementos não nulos de $A$. $a$ e $b$ são associados em $A$ se $\exists u \in A$, onde $u$ invertível e $a = u \cdot b$.

Elemento irredutível de um anel

Seja $a$ um elemento não nulo e não invertível de um anel $A$. $a$ é irredutível se

$\forall b, c \in A$, $a = bc \imp b$ ou $c$ é invertível em $A$.

Outra definição de elemento irredutível de um anel

Seja $a$ um elemento não nulo e não invertível de um anel $A$. $a$ é irredutível se todo divisor de $a$ é invertível ou associado de $a$.

Pode-se mostrar que em domínios de integridade, essas duas definições de elemento irredutível são equivalentes.

Ser divisível

Homomorfismo de anéis

Sejam $(A, +, \cdot)$ e $(B, \oplus, \odot)$ anéis. Uma função $f: A \longrightarrow B$ é um homomorfismo se $\forall a, b \in A$

$f(a + b) = f(a) \oplus f(b)$

$f(a \cdot b) = f(a) \odot f(b)$.

Isomorfismo de anéis

Seja $f: A \longrightarrow B$ um homomorfismo. $f$ é um isomorfismo se ela for bijetora.

Teoria de Domínios

-colocar a tabela que o farles fez de dominio bem ordenado contido em dominio euclidiano contido em dominio principal

Domínio de integridade

Seja $(D, +, \cdot)$ um anel comutativo com unidade. $(D, +, \cdot)$ é um domínio de integridade se

$\forall a, b \in D$, $ a \cdot b = 0 \imp a = 0$ ou $b = 0$.

Domínio bem ordenado

Domínio euclidiano

Domínio principal

Homomorfismo de domínios

Isomorfismo de domínios

Note que isomorfismos entre domínios preservam irredutibilidade, como eu provei aqui:

Prova de que isomorfismos de domínios preservam irredutibilidade – Quarto 707

Os isomorfismos devem preservar qualquer propriedade definível em uma estrutura, não só irredutibilidade.

Teoria de Corpos

-colocar uma foto de um corpo contido num dominio contido num anel

Corpo

Note que todo corpo é um domínio.

Corpo ordenado

Corpo ordenado completo

Essa vai ser a última definição dessa nota, pois aqui começa o post de definições da análise que já está em produção.