Resumo da história da Matemática do ocidente

Neste post resumirei a história da matemática do ocidente separando-a por anos.

Devo deixar claro que, da maioria dos matemáticos citados aqui, conheço apenas os teoremas que carregam seus nomes. Mas acredito nas minhas fontes e sempre que possível atualizarei este resumo, então ele é minimamente confiável.

(acho que quanto mais recente for a data, mais confiável ele fica)

Há muitas frases escritas exatamente da mesma forma que estão nas fontes.

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Entre 48000 a.C. e 9000 a.C.

A matemática surge para resolver problemas práticos dos humanos, como medir terrenos ou construir pirâmides, por exemplo.

Em torno de 1850 a.C.

O papiro de Moscou foi escrito. Este papiro contém 25 problemas de Aritmética e Geometria.

Em torno de 1550 a.C.

O papiro de Rhind foi escrito. Este papiro tem a solução de 85 problemas de Aritmética e Geometria. Nele há algorítmos para resolver alguns problemas matemáticos difíceis. No entanto, assim como toda a matemática até aqui, o papiro não tinha a intenção de provar que os algorítmos funcionavam.

Em torno de 600 a.C. (aqui começa a matemática de verdade)

Tales de Mileto afirma que toda verdade matemática deve ser provada. Por causa dessa afirmação Tales é considerado o primeiro matemático do ocidente.

A partir daqui as demonstrações matemáticas começam, mas o que era uma boa demonstração em 500 a.C. não é uma boa demonstração hoje.

Em torno de 300 a.C.

Euclides escreve a obra “Os Elementos”. Esta obra é uma coletânea de livros, e ela prova praticamente tudo sobre Geometria Plana e Espacial partindo de axiomas e postulados feitos por Euclides. A partir do livro VII dos Elementos, há uma parte para Aritmética. Nela Euclides usa sistematicamente sem menção explícita e sem demonstração a divisão euclidiana. Há também uma parte da obra para a Teoria das Proporções de Eudoxo. O Algoritmo para achar mdcs de Euclides está nesse livro. O livro também contém o desenvolvimento do binômio $(1 + x)^2$.

A divisão euclidiana é um dos teoremas mais importantes da Álgebra, por se tratar de um resultado de existência.

Em torno 250 a.C.

Diofanto escreve“Aritmética”, que é uma obra sobre Teoria dos Números. Nesse livro Diofanto usa uma letra ($\sigma$) para denotar incógnitas, dando início a álgebra sincopada, que é escrever álgebra usando uma mistura de linguagem natural com símbolos.

Posterioremente Fermat leu uma tradução do “Aritmética” para a sua língua.

1202

Fibonacci publica o livro “Liber Abaci”.

Em torno de 1550

Micharel Stifel mostra como calcular $(1 + x)^n$ a partir de $(1 + x)^{n-1}$.

1574

O jesuíta Clávio publica a primeira edição dos seus comentários sobre “Os Elementos” de Euclides. Apesar de serem “só” comentários, eles eram bem ricos e por isso eram um livro por si só. Os comentários/livros de Clávio foram usados como livros-textos de matemática nas escolas jesuítas por muito tempo.

Provavelmente os livros de Geometria de Clávio foram lidos por Descartes quando criança, já que Descartes estudou numa escola jesuíta.

1575

Francesco Maurolycus enuncia explicitamente o princípio da indução matemática pela primeira vez no ocidente.

1606

Kepler publica um livro de astronomia, mas nesse livro ele faz algumas observações sobre probabilidades para tentar entender porque uma estrela brilhante apareceu em 1604.

1613

Galileu publica o ensaio “Sopra le scoperte dei dadi”, em que ele explica porque ao jogarmos três dados o 10 sai mais frequentemente que o 9. Para isso ele teve que calcular o espaço amostral do arremesso de 3 dados, que tem 216 casos possíveis! Haja paciência.

1621

Cavalieri manda uma carta a Galileu perguntando se é permitido equiparar todos os segmentos de retas de uma figura com a figura, e se é permitido comparar todos os segmentos de reta de uma figura 1 com todos os segmentos de reta de uma figura 2.

1635

Gilles de Roberval encontra a àrea sob as curvas seno e cosseno.

Note que ele fez isso antes da inveção do Cálculo!

1637

Descartes publica o livro“Discurso do Método”. Obra filosófica mas que tem como apêndice a criação da Geometria Analítica.
Fermat escreve uma carta a Mersenne onde ele resolve o primeiro problema de derivadas da história.

1647

Cavalieri publica “Exercitationes”, obra em que ele chama as mini retas que compõe qualquer superfície e as mini superfícies de um sólido de indivisíveis. Nesta obra ele prova que a diagonal do paralelogramo divide ele em dois triangulos de mesma área usando Geometria Euclidiana e os indivisíveis. O resultado é simples mas mostra que o método dos indivisíveis conduz a conclusões consistentes com a Geometria Euclidiana. Depois ele usa esse método para provar resultados mais sofisticados.

Perceba como Cavalieri associava os rudimentos do Cálculo à Geometria Euclidiana (e não à Geometria Analítica).

1654

Pascal publica um tratado mostrando como utilizar o Triângulo de Pascal para os coeficientes do desenvolvimento de $(a + b)^n$.

Uma dúvida que tenho é se Pascal provou por indução que seu desenvolvimento do binômio estava certo. Como o princípio já havia sido enunciado na europa a quase 100 anos eu imagino que sim. Até porque é Pascal quem populariza o princípio.

Em breve farei um post provando a expansão do binômio por indução.

1655

John Wallis publica “Sobre as seções cônicas”, obra em que ele defende e usa a geometria (ou método) dos indivisíveis criada(o) por Cavalieri, chegando a usar símbolos como $\infty$ e $\frac{1}{\infty}$.

1657

Huygens publica “De Ratiociniis in Ludo Aleae”, que é o primeiro tratado de Teoria das Probabilidades.

1662

John Graunt utiliza registros de falecimentos para determinar a taxa de mortalidade em Londres.

Acho que aqui os matemáticos já perceberam a utilidade da Teoria das Probabilidades para estudar taxas de mortalidade e venda de seguros de vida.

1663

O livro “Sobre os jogos de azar”, de Cardano, é publicado. Essa é a primeira obra do ocidente que estuda probabilidades. Nessa obra ele define probabilidade como quociente do número de casos favoráveis pelo número de casos totais. Apesar de ter sido publicado depois do tratado de Huygens, Cardano escreveu esse livro décadas antes (em 1663 Cardano já estava morto).

A definição de probabilidade de Cardano foi adotada por vários matemáticos, incluiundo Pascal e Laplace. Mas, hoje em dia há várias outras probabilidades.

1665

Pascal publica o livro “Traité du triangle arithmétique”, obra que populariza o método da indução matemática.
Newton generaliza o binômio de Newton para potências racionais (mas não publicou suas descobertas). Pelo menos Cardano, Tartaglia e Pascal já sabiam expandir o binômio para potências naturais.
Em novembro Newton inventa o cálculo diferencial (mas guarda sua invenção para si).

1666

Em maio Newton inventa o cálculo integral (mas guarda para si).

1682

Leibniz prova que a série alternada de uma sequência decrescente que tende pra zero converge.

1684

Leibniz publica suas ideias sobre o cálculo diferencial e integral.

1685

Jaime Bernoulli escreve em seu diário que ele começou a se interessar por problemas de combinatória e de probabilidades.

1687

Newton publica o livro “Philosophiae Naturalis Principia Mathematica”, que deve ter algumas de suas descobertas matemáticas feitas 20 anos antes.

1693

Edmund Halley publica uma tabela de taxas de mortalidade de algum lugar.

1713

o livro “Ars Conjectandi”, de Jakob Bernoulli, foi publicado postumamente pelo seu filho. Nesse livro, Jakob demonstra a fórmula que conhecemos para a expansão do binômio de Newton usando os trabalhos de Pascal. Além disso ele escreve sobre permutações e combinações e depois deduz a Lei dos Grandes Números, que Bernouli chamou de ponto alto das suas décadas de estudo. Esse teorema é a primeira tentativa de deduzir medidas estatísticas a partir de probabilidades.

1768

Euler faz a primeira resolução numérica de uma equação diferencial. Ele usou o que se chama hoje de método da tangente ou método de Euler.

Falo um pouquinho sobre o método de Euler nesses posts: Resumo do meu curso de Algoritmos Numéricos e Como calcular uma raiz quadrada não exata.

d’Alembert publica o livro “Opuscules Mathématiques”, obra em que ele prova o teste da razão, que é usado para saber quando algumas séries de números reais convergem.

1770

Lagrange publica um artigo que estimula a comunidade matemática a começar a estudar grupos.

1796

Gauss constrói um heptadecágono regular só com régua (sem marcações) e compasso.

1799

Gauss demonstra o Teorema Fundamental da Álgebra.

1801

Gauss publica “Disquisitiones Arithmeticae”, onde ele introduz a noção (e notação utilizada ainda hoje) de congruência.

A noção de congruência é a melhor ferramenta que conheço para se estudar restos de divisões.

1817

Bolzano desenvolve os princípios básicos da técnica por epsilons e deltas para definir funções continuas, mas seu trabalho permaneceu desconhecido para os outros matemáticos até 30 anos depois da sua morte.

Eu tô virando um grande fã do Bolzano enquanto escrevo esse resumo.

1821

Cauchy e Weierstrass formalizam a definição de limite de uma função usando epsilons e deltas.

1851

Bolzano publica “Paradoxien des Unendlichen”, que é considerada a primeira introdução rigorosa dos conjuntos (aqueles que você estuda no 1º ano do ensino médio) na matemática.

Acho que antes do “Paradoxien des Unendlichen”, as provas matemáticas eram completamente diferentes das atuais, já que hoje em dia usamos a Teoria dos Conjuntos como a linguagem das demonstrações matemáticas.

1854

Boole publica “Investigação sobre as leis do pensamento”, inaugurando uma “matematização” da lógica.

1874

Cantor prova que o conjunto dos números reais é não enumerável.

1891

Cantor prova que o conjunto dos números reais é não enumerável usando a diagonal de Cantor.

1899

Hilbert publica “Fundamentos da Geometria”, obra em que ele melhora “Os Elementos” de Euclides.

1900

Hilbert, em sua famosa palestra em Paris, propõe 23 problemas para a comunidade matemática atacar no século 20.

1908

Hardy publica o livro“A Course of Pure Mathematics”, onde ele atualiza a notação de limite para a que usamos hoje (colocando uma setinha em baixo do $\lim$).

1910

Russell e Whitehead publicam o primeiro volume do “Principia Mathematica”, que é o melhor livro de matemática já feito (acho que só digo isso porque nunca o li).

1931

Godel prova seu famoso teorema da incompletude para a lógica de segunda ordem, que diz que qualquer lógica suficientemente poderosa para expressar a Aritmética é incompleta ou inconsistente. Disto segue que a matemática é incompleta ou inconsistente.

1935

Alan Turing resolve o problema da parada proposto por Hilbert. Para isso ele definiu um conjunto chamado máquina de Turing.

Acho que essa máquina disgramada consegue fazer tudo que um COMPUTADOR atual faz, de alguma forma mágica.

1936

Church demonstra que a Aritmética é indecidível.

1937

B. A. Hausmann usa o termo ‘magma’ para significar estruturas com uma operação binária que só precisa ser fechada.

Pode-se provar usando só o PFC que a partir de um conjunto com $n$ elementos, é possível construir $n^{n^2}$ magmas.

1940

Godel prova que a Hipótese do Contínuo é consistente com o sistema axiomático usual da Teoria dos Conjuntos.

1949

Wassily Leontief programa um computador para resolver um sistema de equações de tamanho 42×42.

1993

Andrew Wiles gasta 200 páginas para provar o Último Teorema de Fermat, que diz que o teorema de Pitágoras não pode ser generalizado para potências naturais maiores que 2.

2003

Grigori Perelman resolve a conjectura de Poincaré, que eu não sei enunciar mas sei que quem resolvesse ganharia 1 milhão de dólares. Mas ele recusou o prêmio.

Muito obrigado por chegar até aqui :]

Este resumo está em constante atualização, pois o atualizo sempre que descubro algo novo sobre a história da matemática. Então caso tenha alguma sugestão para melhorá-lo, comente!

Referências

Álgebra Linear e suas aplicações – David Lay
Análise Combinatória e Probabilidade – Augusto Morgado
Análise Real volume 1 – Elon Lima
Cálculo – James Stewart
C.Q.D. – Gilberto Garbi
Cantor’s diagonal argument – Wikipedia
Curso de Álgebra volume 1 – Abramo Hefez
d”ALEMBERT – Toda a Matemática
Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno – Boyce e Diprima
Espaços Amostrais – Professor Possani
HISTÓRIA – Quem inventou a derivada? – Toda a Matemática
Infinitesimal – Amir Alexander
Introdução a Lógica – Cezar Mortari
Limit (mathematics) – Wikipedia
Lógica Matemática – Rogério Fajardo
Logicomix: Uma Jornada Épica em Busca da Verdade – Doxiadis e Papadimitriou
Millennium Prize Problems – Wikipedia
Noções de Matemática volume 4 – Aref Neto
O andar do bêbado – Leonard Mlodinow
O Romance das Equações Algébricas – Gilberto Garbi
Sequência de Fibonacci – Professor Possani
Set theory – Wikipedia
Uma Breve HISTÓRIA da ÁLGEBRA LINEAR – Tem Ciência
Uma introdução à teoria dos grupos – Francicarlos Santos