Dedução da probabilidade dos resultados ao arremessar três dados

Neste post calcularei a probabilidade de sair o número que queremos ao arremessarmos três dados honestos.

No post usei o verbo “sair” tanto para o número obtido em um dado individual quanto para a soma dos valores obtidos ao lançar dois ou três dados. Espero que o contexto deixe claro qual dos dois significados está sendo usado.

Fui bem pouco didático nesse post, então espero que você já saiba um pouco sobre probabilidade.

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Cálculo das probabilidades

Espaço amostral

Como quase todo exercício de probabilidade, o primeiro passo é calcular o tamanho do espaço amostral.

Como estamos jogando três dados, em cada um deles pode sair os números $1$ a $6$.

Para cada número que sair no primeiro dado, há $6$ possibilidades de sair ele e outro número no segundo dado. Por exemplo: se sair o $1$ no primeiro dado, ao jogarmos o segundo dado podem sair os pares $(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)$. Pensando um pouquinho concluímos que há $6 \cdot 6 = 36$ possibilidades de resultado ao jogarmos dois dados.

Para cada uma dessas possibilidades, há $6$ possibilidades ao jogarmos três dados. Por exemplo, se sair $(1, 2)$ nos primeiros dois dados, ao jogarmos o terceiro dado podem sair as ternas $(1, 2, 1), (1, 2, 2), (1, 2, 3), (1, 2, 4), (1, 2, 5), (1, 2, 6)$. Logo, há $6 \cdot 36 = 216$ possibilidades de resultado ao jogarmos $3$ dados.

Agora que calculamos o tamanho do espaço amostral, vem a parte difícil, que é calcular os resultados favoráveis de cada caso.

Probabilidade de sair 3

Há apenas $1$ possibilidade de sair $3$, que é quando o resultado é $(1, 1, 1)$. Logo, pela definição de probabilidade de Cardano, a chance de sair $3$ é $\frac{1}{216} \approx 0{,}46\% $.

Probabilidade de sair 4

Como o mínimo que pode sair ao jogarmos dois dados é $2$, em nenhum do três dados pode sair $3$ ou mais, já que ai o total passaria de $4$. De fato, para sair $4$ é necessário que saia $1$ em dois dados e $2$ no terceiro dado (queria justificar essa afirmação, mas não sei como).

Com ou sem justificativa, os resultados em que sai $4$ são $(1, 1, 2), (1, 2, 1), (2, 1, 1)$.

Logo, a probabilidade de sair $4$ é: $\frac{3}{216} \approx 1{,}4\% $.

Probabilidade de sair 5

Os resultados em que o $5$ sai são $(1, 1, 3), (1, 3, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, 1), (3, 1, 1)$.

Logo, a probabilidade de sair $5$ é: $\frac{6}{216} \approx 2{,}78\%$.

Probabilidade de sair 6

A partir daqui farei diferente, pois contar todos os resultados favoráveis seria muito chato e fácil de errar.

Perceba que o que queremos é exatamente a quantidade de soluções inteiras positivas da equação $x_1+x_2+x_3 = 6$ com $1 \leq x_i \leq 6$. Podemos ignorar a restrição dos $x_i$ por enquanto e usar a seguinte solução já conhecida para calcular número de soluções positivas dessa equação:

Se pensarmos no $6$ como $6$ bolinhas:

\[ . . . . . . \]

Então precisamos de $2$ barras para separar as bolinhas em $3$ grupos. E as barras podem ser colocadas em $5$ lugares diferentes, por exemplo:

\[ . . . | . . | . \]

(essa seria a solução $(3, 2, 1)$ da equação $x_1+x_2+x_3 = 6$)

Logo, o número total de soluções da equação (e de resultados em que sai $6$ ao jogarmos $3$ dados) é $C_5^2 = {5 \choose 2} = 10$.

(assumi que você, leitor, conheça a fórmula de combinação e o seu significado. Caso contrário, já fiz um post deduzindo essa fórmula, que você pode conferir aqui)

Portanto, a probabilidade de sair $6$ é $\frac{10}{216} \approx 4{,}6\%$.

Probabilidade de sair 7

Por um argumento análogo ao feito no cálculo da probabilidade de sair $6$, a quantidade de resultados em que o $7$ sai é ${6 \choose 2} = 15$ e portanto a probabilidade de sair $7$ é: $\frac{15}{216} \approx 6{,}9\%$.

Probabilidade de sair 8

Por um argumento análogo ao feito no cálculo da probabilidade de sair $6$, a quantidade de resultados em que o $8$ sai é ${7 \choose 2} = 21$ e portanto a probabilidade de sair $8$ é: $\frac{21}{216} \approx 9{,}7\%$.

Probabilidade de sair 9

Aqui há um problema caso tentemos fazer como fizemos na probabilidade de sair $6$, pois $(7, 1, 1)$ é uma solução inteira positiva de $x_1+x_2+x_3 = 9$ mas nela não é verdade que $1 \leq x_i \leq 6$, logo ela não pode sair nos dados. O que farei pra contornar esse problema é contar quantas soluções positivas de $x_1+x_2+x_3 = 9$ existem e contar quantas delas não podem ocorrer no arremesso dos dados para retirá-las.

Já sabemos que há ${8 \choose 2} = 28$ soluções positivas da equação. E as soluções que não queremos são as que tem $7$, que são: $(7, 1, 1), (1, 7, 1), (1, 1, 7)$. Logo, a probabilidade de sair $9$ é $\frac{28-3}{216} \approx 11{,}6\%$.

Probabilidade de sair 10

Análogamente ao que fizemos com o $9$, temos que o número de soluções positivas da equação $x_1+x_2+x_3 = 10$ é ${9 \choose 2} = 36$ e as soluções que não queremos são as que tem $7$ e as que tem $8$, que são: $(7, 1, 2), (7, 2, 1), (1, 7, 2), (1, 2, 7), (2, 7, 1), (2, 1, 7), (8, 1, 1), (1, 8, 1), (1, 1, 8)$. Logo, a probabilidade de sair $10$ é $\frac{36-9}{216} = 12{,}5\%$.

Probabilidade de sair 11

Vai dar muito trabalho calcular a probabilidade de sair $11$ igual eu fiz na chance de sair $10$, por isso pensei em um outro método.

Sabemos que a quantidade de soluções positivas da equação $x_1+x_2+x_3 = 11$ é ${10 \choose 2} = 45$. Mas dessas, não queremos as soluções que tem $7, 8$ e $9$. Para calcular quantas delas tem $7$, fixe $x_1 = 7$. Daí o problema se torna calcular as soluções positivas de $x_2+x_3 = 4$. E há ${3 \choose 1} = 3$ delas. Esse é o total de soluções das $45$ que começam com $7$. E pela “simetria” do problema, há $3$ soluções em que o $7$ está no meio e $3$ em que ele está no final. Logo, o total das $45$ soluções que possuem $7$ é $9$.

Agora só precisamos contar da mesma forma quantas soluções possuem o número $8$ e quantas possuem o $9$. Repetindo o processo concluiremos que há $3 \cdot {2 \choose 1} = 6$ soluções que possuem $8$ e $3 \cdot {1 \choose 1} = 3$ soluções que possuem $9$. Logo, o total de soluções que queremos é $45-9-6-3 =27$.

Portanto, a probabilidade de sair $11$ ao jogarmos 3 dados é $\frac{27}{216} = 12{,}5\%$

Probabilidade de sair números acima de 11

Eu queria muito continuar calculando as probabilidades, pra ver elas diminuindo depois do $11$, mas infelizmente todas as formas que pensei de fazer isso dão muito trabalho. Por isso, não calcularei. Pelo menos já deu pra resolver o problema de Galileu, que falarei sobre a seguir:

Problema de Galileu

Note que a probabilidade de sair $9$ é $11{,}6\%$ e a de sair $10$ é $12{,}5\%$. No século 17, um amigo apostador de Galileu percebeu isso empirícamente e pediu a Galileu para que ele descobrisse porque isso ocorria, já que ambos tem a mesma “quantidade de somas”. Por causa do pedido, Galileu foi estudar o assunto, e provavelmente fez contas bem parecidas com as que eu fiz nesse post. Isso mostra como a teoria das Probabilidades estava em seu auge na revolução científica.

Se não me engano, depois de resolver o problema Galileu disse que não gostou de trabalhar com esse tipo de problema. Agora entendo ele… análise combinatória realmente é algo complicado de se trabalhar.

Caso queira ver um vídeo bem legal que fala sobre isso, veja:

Espaços Amostrais – Professor Possani

(esse vídeo explica o que eu quis dizer com “quantidade de somas”)

Diário de estudos

Atualmente estou fazendo Matemática Discreta na graduação, e probabilidade foi o conteúdo da 2ª prova. Como todo exercício de probabilidade é único, foi só graças a um exercício da lista (de calcular soluções positivas de uma equação do tipo $x_1+…+x_n = c$) que consegui fazer o post.

Eu estava planejando fazer mais posts de probabilidade, mas acho que não vai dar. Por isso deixarei algumas dúvidas e insights que tive enquanto estudava isso aqui:

• O espaço amostral é univocamente determinado por um dado fenômeno aleatório? Isto é, um fenômeno aleatório só pode ser modelado por um espaço amostral?
• Jogar um dado uma vez e jogar um dado duas vezes são fenômenos aleatórios diferentes. Tanto é que seus espaços amostrais são diferentes.
• Eu sei que a probabilidade de eventos independentes é a que é por definição, mas por que definiram daquela forma?
• Para lidar com dados viciados, a probabilidade de Cardano não é adequada.

Resumo das probabilidades

Obrigado por chegar até aqui ^^

Como “recompensa”, fique com uma foto que resume as probabilidades calculadas:

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