Este post é para deduzir a integral de $f(x) = log_a(x)$, onde $a$ é um número real positivo qualquer.
Na dedução que farei, precisaremos saber, de antemão, a derivada de $log_a(x)$ e a técnica de integração por partes.
Caso você não saiba a derivada do log, leia meu post onde deduzo isso (ou pesquise na internet):
Dedução da derivada da função logaritmo – Quarto 707
Quanto à integração por partes, isto é um teorema que diz que a seguinte igualdade é verdadeira para todas as funções $f(x)$ e $g(x)$:
$ \int f'(x)g(x) \, dx = f(x)g(x) – \int f(x)g'(x) \, dx $
Caso queira saber mais sobre isso, acesse:
Integração por partes – Wikipédia
Este teorema normalmente é visto no fim do Cálculo 1 ou no começo do Cálculo 2 nas faculdades de exatas (eu vi no começo de Cálculo 2).
Usando essas informações, fica bem fácil de deduzir a integral da função logarítmica, como você verá agora.
— publicidade —
Dedução
Para começar, precisamos reparar que
$ \int log_a(x) \, dx = \int 1 \cdot log_a(x) \, dx $
Isso é importante pois precisamos de duas funções no integrando para usar a integração por partes.
Usando a integração por partes, onde $f'(x) = 1$ e $g(x) = log_a (x) $, obteremos:
$ \int 1 \cdot log_a (x) \, dx = x \, log_a (x) – \int x \, \frac{1}{x ln(a)} \, dx $
pois $f'(x) = 1 \imp f(x) = x$ e $g(x) = log_a (x) \imp g'(x) = \frac{1}{x ln(a)}$. É nesse passo que precisamos saber a derivada do logaritmo.
Daí, basta simplificar o que obtivemos para concluir que:
$ \int log_a(x) \, dx = x \, log_a (x) – \frac{x}{ln(a)} + C $
E aí está a dedução da integral do log!
Diário de Estudos
Este é o fim de uma saga de 4 posts em que deduzi a derivada e a integral das funções log e exponencial com uma base qualquer! Os outros posts são:
Dedução da derivada da função logaritmo – Quarto 707
Dedução da integral da função exponencial – Quarto 707
3 deduções da derivada da função exponencial – Quarto 707
Foda que apesar de agora eu saber as derivadas e integrais das funções exponenciais e logarítmicas, ainda não sinto que entendo cálculo ou essas funções. Para mim, o que fiz foi apenas manipular algébricamente símbolos. Não entendo o que esses símbolos estão me dizendo.
Creio que este sentimento seja justamente o motivo do cálculo ser tão incrível depois de Newton, pois, graças às suas descobertas conseguimos resolver problemas de cálculo sem nem ao menos entende-los, de forma puramente mecânica. Mas eu caguei pra isso pois o que quero é entender os problemas e as soluções.
De qualquer forma, estou feliz de finalmente terminar essa saga. Não acho que farei mais textos como esses onde deduzo derivadas e integrais usando ideias criativas mas sem muito rigor, pois quero entender os fundamentos filosóficos do cálculo antes de escrever mais sobre o tema.
Sinta-se à vontade para tentar essa abordagem em outras funções, como as trigonométricas. Aliás, em breve uma colega de curso minha fará um post deduzindo a derivada do arco-seno dessa forma.
Muito obrigado por chegar até aqui :]
Referências
Cálculo (7ª edição) – James Stewart
— publicidade —