Dedução da derivada da função logaritmo

Esse post é para deduzir a derivada da função logaritmo com uma base arbitrária positiva. Evitarei tratar o assunto com rigor. A ideia desse post é ser mais um argumento para te convencer do resultado do que uma demonstração.

Pré requisitos

Dito isso, o que vamos precisar para descobrir a derivada do log é saber de antemão: qual é a derivada da função exponencial, como usar a regra da cadeia e de criatividade.

Para o primeiro requisito, eu já fiz um post. Caso você não saiba a derivada de uma função exponencial com uma base qualquer, recomendo que o leia:

3 deduções da derivada da função exponencial – Quarto 707

Caso precise relembrar o que é a regra da cadeia, acesse:

Regra da cadeia – Wikipédia

Quanto ao último pré-requisito, vou assumir que você, leitor, é criativo.

Então… bora começar!

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Dedução

Seja $a$ um número real positivo qualquer e $x$ uma variável real. Sabemos que

$$ a^{log_a(x)} = x $$

pelo fato de as funções exponencial e logarítmica serem funções inversas. Essa igualdade verdadeira será nosso ponto de partida.

Derivando os dois lados dessa equação em relação a $x$, temos que

$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} (a^{log_a(x)}) = 1 $

Como, do lado esquerdo, temos a derivada de uma função composta, usaremos a regra da cadeia para desenvolver esse lado da seguinte forma:

$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} (a^{log_a(x)}) = \frac{\mathrm{d} (a^{log_a(x)})}{\mathrm{d}(log_a(x))} \cdot \frac{\mathrm{d} (log_a(x))}{\mathrm{d}x} $

Note que fazendo isso apareceu justamente o que queremos saber, que é a derivada do log na base a.

Sabendo que a derivada de uma função exponencial é $\frac{\mathrm{d}a^x}{\mathrm{d}x} = a^x ln(a)$ (isso era um dos pré-requisitos), temos que

$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} (a^{log_a(x)}) = a^{log_a(x)} ln(a) \cdot \frac{\mathrm{d} (log_a(x))}{\mathrm{d}x} $

Substituindo o que obtemos nessa equação e isolando o que queremos descobrir, obtemos:

$$ \frac{\mathrm{d} (log_a(x))}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{x ln(a)} $$

E este é o fim da dedução da derivada do log numa base a qualquer!

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Dedução da integral da função logaritmo – Quarto 707

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3 deduções da derivada da função exponencial – Quarto 707

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Muito obrigado por chegar até aqui :]

Referências

Cálculo (7ª edição) – James Stewart