Recentemente, descobri que o Google mostrou meu blog para 40 pessoas que pesquisaram “integral de exponencial” no último mês, segundo o Search Console.
Como nunca falei sobre isso aqui, decidi fazer um post deduzindo a integral da exponencial para que o Google tenha algo útil para mostrar a essas pessoas.
Para escrever o post, eu comecei tentando deduzir a integral da função exponencial sozinho por uns 40 minutos, mas desisti e fui pesquisar a resposta na internet. Aí encontrei esta resposta aqui:
NÃO CLIQUE SE QUISER TENTAR DEDUZIR SOZINHO PRIMEIRO!
Nesse post eu destrincharei a resposta que encontrei.
(para minha sorte, depois de ver a resposta, ficou super simples refazer essa dedução “sozinho”. Então escrever este post não deu quase nenhum trabalho)
Pela resposta do cara, tudo que precisaremos saber previamente para deduzir a integral da exponencial é qual é a sua derivada. Então começaremos deduzindo isso.
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Dedução da derivada de $a^x$
Eu já fiz um post com 3 deduções diferentes da derivada de $a^x$, mas você não precisa lê-lo, pois vou repetir uma das deduções aqui neste post (e de forma melhorada). Mas, caso seja do seu interesse (nele também falo um pouquinho de como é meu processo de aprendizagem), pode acessá-lo clicando aqui:
Segue a dedução de $\frac{da^x}{dx}$:
$ a^x = e^{\ln(a^x)} \imp \frac{da^x}{dx} = \frac{de^{\ln(a^x)}}{dx} = \frac{de^{\ln(a^x)}}{d(\ln(a^x))} \cdot \frac{d\ln(a^x)}{dx} = e^{\ln(a^x)} \cdot \frac{dx \cdot \ln(a)}{dx} = a^x \cdot \ln(a) $
$$ \imp \frac{da^x}{dx} = a^x \cdot \ln(a) $$
Agora que deduzimos $\frac{da^x}{dx}$, veremos que a integral da função exponencial realmente se segue dessa informação.
Dedução da integral de $a^x$
Segue a dedução da integral de uma função exponencial:
$\int a^x \ dx = \int a^x \cdot 1 \ dx = \int a^x \cdot \frac{\ln (a)}{\ln(a)} \ dx = \frac{1}{\ln(a)} \int a^x \ln(a) \ dx = \frac{1}{\ln(a)} \cdot a^x + C = $
$ \frac{a^x}{\ln(a)} + C \imp $
$$ \int a^x \ dx = \frac{a^x}{\ln(a)} + C $$
E aí está a dedução prometida da integral de uma função exponencial com uma base qualquer!
Significado da derivada de $e^x$
No post “3 deduções da derivada da função exponencial” – Quarto 707, eu disse que não sabia como interpretar o resultado da derivada da exponencial. Porém, ao ler o texto “Derivadas e integrais de funções exponenciais” – Neurochispas, tive um insight que quero comentar aqui (mas que se aplica apenas quando $a = e$).
Quando a base da função exponencial é $e$, isto é $a = e$, podemos ver na dedução que fizemos que a derivada de $e^x$ é a própria $e^x$. Isto significa que a taxa de variação de $e^x$ em um instante qualquer é igual ao valor da função nesse mesmo instante. Por exemplo, se no instante $x_0$ o valor da função é $f(x_0) = e^{x_0} = 500$, então ela também vai variar em $500$ neste instante, isto é, $f(x_0 + dx) = 1000$.
Não sei se isso ta correto, mas é um bom começo pra quando eu for tentar entender de verdade o que é a função exponencial. só espero que seja ainda nessa vida ;-;
Para você que chegou até aqui, muito obrigado pela sua atenção! Espero que tenha gostado ^^
Caso queira ver mais posts sobre cálculo, acesse:
3 deduções da derivada da função exponencial – Quarto 707
Dedução da derivada da função logaritmo – Quarto 707
Dedução da integral da função logaritmo – Quarto 707
Referências
Cálculo (7ª edição) – James Stewart
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