Definições da Teoria de Conjuntos

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André

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Esta é uma lista de algumas das definições que nos deparamos ao estudar Teoria de Conjuntos.

Nesta lista estou assumindo que conjuntos são elementos primitivos e que eles são as únicas coisas que existem. Isto significa que os elementos dos conjuntos também são conjuntos.

Lista das definições
  1. Conjunto das partes
  2. Par ordenado
  3. N-upla ordenada
  4. Produto cartesiano
  5. Relação
  6. Função
  7. Função sobrejetora
  8. Função injetora
  9. Função bijetora
  10. Família
  11. União de uma família
  12. Sequência
  13. Relação de equivalência
  14. Classe de equivalência
  15. Conjunto quociente
  16. Partição

Conjunto das partes

Seja A um conjunto. O conjunto das partes \wp (A) é o conjunto de todos os subconjuntos de A.

Em termos mais simbólicos: \wp (A) = \{x / x \subset A\} .

Par ordenado

Sejam a, b elemento de um conjunto A. O par ordenado (a, b) é exatamente o conjunto \{\{a\}, \{a, b\}\} que pertence ao conjunto \wp (\wp (A)).

Em termos mais simbólicos: (a, b) = \{\{a\}, \{a, b\}\}.

N-upla ordenada

Produto cartesiano

Sejam A e B conjuntos. O produto cartesiano A \times B de A e B é o conjunto de todos os pares ordenados (a, b) tal que a \in A e b \in B.

Em termos mais simbólicos: A \times B = \{(a, b) / a \in A \e b \in B\}.

Denotamos A \times A \times A ... iterado n vezes como A^n.

Relação

Seja A um conjunto e n um número natural. Uma relação R dos elementos de A é qualquer subconjunto do produto cartesiano A^n.

Se n =2, a relação R é chamada de relação binária.

Função

Sejam A e B conjuntos não vazios. Uma função f de A em B é um sub-conjunto de A \times B tal que \forall x, y, z \in A, (x, y) \in f e (x, z) \in f \imp y = z.

A partir daqui, denotaremos (x, y) \in f como y = f(x).

Função sobrejetora

Seja f uma função de A em B. f é sobrejetora se \forall y \in B, \exists x \in A tal que y = f(x).

Função injetora

Seja f uma função de A em B. f é injetora se \forall x, y \in A, f(x) = f(y) \imp x = y.

Função bijetora

Seja f uma função de A em B. f é bijetora se ela for injetora e sobrejetora.

Família

Uma família \{x_i\} é uma função qualquer.

União de uma família

Seja \{x_i\} uma família. \bigcup\limits_{i \in I} x_i é a união da família \{x_i\} se for a união do contradomínio da família \{x_i\}.

Sequência

Seja \{x_i\} uma família. \{x_i\} é uma sequência se seu domínio é um número natural ou o conjunto do números naturais.

Fonte: página 48 do Teoria Ingênua de Conjuntos – Halmos.

Se o domínio for um número natural, a sequência é finita. E se o domínio for os números naturais, a sequência é infinita.

Há uma forma alternativa de se definir sequência, que pode ser vista no livro do Ederton. Ela é: uma sequência é uma n-upla ordenada.

Relação de equivalência

Seja A um conjunto não vazio e seja R \subset A \times A uma relação binária. R é uma relação de equivalência se:
(a,a) \in R para todo a \in A (reflexividade)
Se \exists a, b \in R tal que (a,b) \in R então (b,a) \in R (simetria)
Se \exists a, b, c \in R tal que (a,b) \in R e (b,c) \in R então (a,c) \in R (transitividade)

Se denotarmos R como \sim, e (a, b) \in R como a \sim b, então \sim é uma relação de equivalência se:
a \sim a para todo a \in A (reflexividade)
Se \exists a, b \in \ \sim tal que a \sim b então b \sim a (simetria)
Se \exists a, b,c \in \ \sim tal que a \sim b e b \sim c então a \sim c (transitividade)

Classe de equivalência

Seja A um conjunto não vazio e seja x \in A um elemento de A. \overline{x} é uma classe de equivalência do elemento x em relação a uma relação de equivalência \sim se \overline{x} é conjunto de todos os elementos relacionados a x por \sim.

Em termos mais simbólicos: \overline{x}=\{y \in A / x \sim y\}

Conjunto quociente

Sejam A um conjunto não vazio e \sim uma relação de equivalência em A. A \setminus \sim é um conjunto quociente de A pela relação de equivalência \sim se A \setminus \sim é o conjunto de todas as classes de equivalência \overline{x} determinadas por uma relação de equivalência \sim.

Partição

Sejam A um conjunto não vazio e P(A) o conjunto das partes de A. \mathbb{P} \subset P(A) é uma partição do conjunto A se:
Para todo B_1, B_2 \in \mathbb{P}, temos que B_1 \neq B_2 \imp B_1 \cap B_2 = \emptyset
\bigcup\limits_{B_i \in \mathbb{P}} B_i = A, onde B_i é a família dos conjuntos pertencentes a \mathbb{P} e, portanto, i varia de 1 até a cardinalidade de \mathbb{P}.

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