Diferença entre segmentos orientados e vetores (e mais!)

Todo mundo que ouviu falar em vetores já deve ter se perguntado: o que é um vetor? Vetores são segmentos orientados? Se não, qual a diferença entre segmentos orientados e vetores?

Responder essas e outras perguntas é o objetivo desse texto, então se você tem alguma dessas dúvidas, continue lendo :]

Recentemente o André começou a ler o livro Geometria Analítica – Um Tratamento Vetorial, do Paulo Boulos e este livro tem as respostas para todas essas dúvidas, então se quiser se aprofundar nisso, vá ler o livro depois de ler o post. Vale muito a pena. As definições que daremos a seguir foram retiradas dele.

Definição de segmentos orientados e vetores

Segmentos orientados

Logo no começo, nas páginas 4 e 5, o livro define segmentos orientados e segmentos orientados equipolentes. As definições são:

A equipolência é um conceito importantíssimo pois é uma relação de equivalência. Isto quer dizer que da para particionar o conjunto de todos os segmentos orientados em várias classes de equipolências disjuntas entre si. Nas palavras do livro:

[…] qualquer segmento orientado pertencente a uma classe de equipolência pode ser considerado seu representante, e cada segmento orientado é representante de uma única classe de equipolência.

(se isso está confuso para você, leia o texto do André sobre partições)

Vetores

Mais adiante o livro também define o que é vetor. A definição dada é:

Com essas definições fica bem claro qual a diferença entre segmentos orientados e vetores: Um segmento orientado é um par ordenado de pontos e um vetor é um conjunto de segmentos orientados equipolentes. Mas já que você chegou até aqui, continue comigo pois vou provar uma propriedade dos vetores que utilizamos toda hora.

Tentar provar essa propriedade foi uma sugestão do próprio Boulos. Depois de dar todas essas definições – mais especificamente na página 6 do livro – ele pede para tentarmos provar o seguinte teorema:

“Dados um ponto e um vetor , existe um único segmento orientado representante de com origem em .”

(essa propriedade é mais uma diferença entre segmentos orientados e vetores)

A primeira reação do André ao ler esse pedido foi “como eu vou provar algo se você não me deu nenhum axioma?”. E como sempre, ele chegou em mim revoltado com a situação, e perguntou se eu sabia provar. Eu prontamente disse “Ué, essa não é a definição de vetor? Isso realmente é um teorema? Como eu vou provar se ele só me deu definições? Pode isso?”.

Mas a verdade é que o Boulos nos deu muitos axiomas, a gente que não tinha percebido. Ele faz isso no último parágrafo da introdução do livro, quando diz que “serão pressupostos os resultados da Geometria Euclidiana” (e você aí, pulando o prefácio e as introduções dos livros :’0).

Dito isso, vamos começar!

Demonstração do teorema enunciado pelo Boulos

Como temos permissão, eu usarei na prova os seguintes axiomas da Geometria Euclidiana:

• P1 – Por dois pontos não coincidentes passa uma e uma só reta;
• P2 – Para todo segmento de reta e todo segmento de reta , existe um único ponto tal que está entre e e o segmento é congruente com o segmento (Ou seja, pode-se continuar qualquer reta, de uma única forma);
• P3 – Para todo ponto e todo ponto não coincidente com existe uma circuferência com centro em e raio congruente com o segmento ;
• P4 – Todos os ângulos retos são congruentes entre si;
• P5 – Por um ponto não pertencente a uma reta, passa uma e uma só paralela a tal reta (este é o postulado escrito por Playfair que é equivalente ao quinto postulado de Euclides).

Vamos dividir a demonstração em duas partes: Construção do segmento e a Prova propriamente dita.

Construção do segmento (existência):

Pela definição de vetor (Definição 4), para todo vetor, existe um (são vários, mas a princípio só precisamos de um) segmento orientado representante do vetor (novamente, se você não entendeu por que isso é verdade leia o texto de partições do André).

Assim, seja um representante do vetor e um ponto do plano;

Pela definição de segmento orientado (Definição 1), e são pontos do plano;

Pelo P1, existe uma única reta que passa por e ;

Pelo P5, existe uma única reta que passa por e é paralela a reta que passa por e (paralela também, consequentemente, ao vetor );

E novamente pelo P5, existe uma (única) reta paralela a reta e que passa pelo ponto ;

Seja o ponto de interseção das retas e (de fato elas se intersectam num único ponto, isso decorre da transitividade das retas paralelas no plano e do fato de que o ponto está fora da reta que passa por e , tente provar isso);

Como temos que ;

Obs. : significa a reta que passa pelos pontos e enquanto denota o segmento de reta cujo as extremidades são os pontos e . Usaremos essas mesmas notações nos passos seguintes.

Análogamente, implica que . Logo, é um paralelogramo (quadrilátero com lados opostos paralelos).

(Recomendo que você desenhe todas essas retas e pontos)

Prova propriamente dita:

Perceba que até agora não provamos o que queríamos, ou seja, existe um único representante de com origem em , mas para isso precisamos criar um outro vetor primeiro.

Seja um segmento orientado, vamos provar que é equipolente a . Pela definição 2:

• e possuem o mesmo comprimento pois os segmentos e possuem o mesmo tamanho, por serem lados opostos de um paralelogramo (prove isso! Dica: conguência de triângulos).

• e possuem a mesma direção pois os segmentos e são paralelos, e se duas retas são paralelas elas tem a(o) mesma(o) direção (ângulo), pelo P5 .
• E e possuem o mesmo sentido pois , já que as retas na qual eles estão contidos são paralelas .

Temos então, pela definição 3, que e são representantes do mesmo vetor. Fica então provado que dado um ponto e um vetor , existe um representante de com origem em . Mas será que é único ?

Isso é uma pergunta para outro post, tente provar até lá…

Brincadeira!

Repare que para provar tudo até agora, só usamos o P1 e o P5, e em ambos temos que toda a construção que fizemos só pode ser feita de modo único :]. Assim, só existe um único representante de com origem em .